<p>In this paper I give a description and derivation of Dirichlet's problem, a boundary value problem, for p-harmonic functions on graphs and study an iterative method for solving it.The method's convergence is proved and some preliminary results about its speed of convergence are presented.There is an implementation accompanying this thesis and a short description of the implementation is included. The implementation will be made available on the internet at http://www.mai.liu.se/~anbjo/pharmgraph/ for as long as possible.</p>

<p><strong><p>Sammanfattning</p><p>Syftet med detta arbete är att undersöka hur lärare i år 1 och 2 definierar, använder och introducerar det matematiska språket. Detta bland annat för att förstå vilken roll det matematiska språket spelar för matematikförståelse då det sägs att svenska elevers matematikkunskaper är sämre jämfört med andra länder. Efter analysen av de kvalitativa intervjuerna med de fyra lärarna har vi, efter att ha inspirerats av fenomenografin, jämfört vår analys med vad forskningen anser om ämnet. Vi har utgått från socialkonstruktivismen och därför är kommunikation av olika slag en röd tråd genom vårt arbete. Med kommunikation menar vi här, kommunikation mellan människor, med läroböcker samt kommunikationen med konkretiseringsmaterial. I vår analys har vi kommit fram till 2 strategier med 4-5 kategorier var. Av detta har vi dragit slutsatsen att lärarna i våra intervjuer är ganska klara över sin definition av det matematiska språket, men att det är svårt att förklara innehållet i det matematiska språket på ett kortfattat sätt. De använde sig alla av kommunikation av olika slag, i sin matematikundervisning, för att få elever att bygga upp sin förståelse av det matematiska språket. Det som tydligast skilde lärarna åt i sin introduktion och användning av det matematiska språket var användningen av ett visst begrepp och orsaken till det, utnyttjandet av medveten kommunikation mellan elever och insikten över kopplingen mellan konkretisering och det matematiska språket. Enligt en ny forskning (Olander, 2010) kan elever lättare tillägna sig vetenskapliga begrepp om de får diskutera begreppen med varandra och bygga upp ett interlanguage, ett så kallat blandspråk, mellan deras vardagliga språk och det vetenskapliga språket. Detta tillsammans med Löwings (2004, 2008) uppfattning om att konkretiseringen måste byggas upp med matematiska begrepp så att man senare kan använda konkretiseringen då matematiken blir alltför abstrakt har gett oss grunden till vårt resultat. Matematik behöver utgå från elevernas erfarenhetsvärld, matematikspråkets innebörd måste diskuteras fram mellan elever och mellan lärare och elever samt att det ska finnas koppling i språket mellan konkretiseringen av matematik till det abstrakta. Vad som vi också kommit fram till är att det formella matematikspråket ska finnas i klassrummet oavsett om man diskuterar, arbetar med lärobok eller konkretiserar.</p></strong></p>

<p>Barn och ungdomar kan lära sig matematik på många olika sätt. Att lära in matematik utomhus är för många främmande, men kan fungera utmärkt som ett komplement till den traditionella klassrumsundervisningen i grundskolans tidigare år. Syftet med detta arbete är att undersöka utomhusmatematikens för- och nackdelar. Mina slutsatser i detta arbete är i huvudsak byggda på resultat från sex strukturerade intervjuer med pedagoger vid en skola i västra Sverige, samt forskningslitteratur. Samtliga intervjuade pedagoger har erfarenhet av att arbeta utomhus med matematik. Utomhusmatematik bidrar starkt till att konkretisera matematiken. Utomhus får barn chansen att använda fler sinnen och befäster då lättare såväl gammal som ny kunskap, samtidigt som de får chansen att använda hela kroppen. Nackdelar med att ha matematik utomhus är att det krävs mer planering och oftast fler personal. Pedagogens förhållningssätt och vilja är dock det främsta hindret som avgör om, och i vilken omfattning, utomhusmatematiken ska förekomma eller inte.</p> / <p>Children are able to learn mathematics in many different ways. To study and learn mathematics out of doors are not so common in today's nine-year compulsory school, but can work as a perfect complement to the usual teaching methods. The purpose of this essay is to make researches into advantages and disadvantages with outdoor mathematics. The conclusions of this essay are based on results from six structured interviews with teachers at a school in the west of Sweden, as well as literature and research. All of the teachers that have been interviewed in this essay, have experience of working with mathematics out of doors. Outdoor mathematics helps to put mathematics in a concrete form. The outdoor environment gives children a good chance to use all of their senses, which can confirm old and new knowledge, at the same time as they get the opportunity to use their whole bodies. Disadvantages with outdoor mathematics are often related to shortage of staff and increased planning from the teacher's side. In the end, the attitudes of the teacher are the major obstacle when it comes to outdoor mathematics.</p>

Syftet med föreliggande studie är att, genom intervjuer med tolv elever ur år fem, undersöka deras uppfattningar om matematik. För att studera detta har vi använt oss av en kvalitativ metod med inspiration av den fenomenografiska ansatsen. Utifrån studiens syfte och frågeställningar har tre temaområden framtagits inom vilka elevernas uppfattningar analyserats och därefter kategoriserats. Ur resultatet framkommer en relativt snäv syn på matematiken där läroboken är dominerande i elevernas uppfattningar. Boken fungerar som utgångspunkt både i definitionen av matematikämnet och vid beskrivningen av hur ämnet upplevs. Detta kan ha sin grund i, vilket framgår i elevernas beskrivning av matematiklektionerna, att undervisningen till stor del kännetecknas av räknande i läroboken. Ett stort antal av eleverna uppfattar undervisning i matematik som mer eller mindre lustfyllt beroende på hur långt de kommit i läroboken. Att ligga långt fram och att räkna fort framstår som betydande för hur duktiga eleverna upplever sig vara. Flertalet elever uttrycker dessutom en önskan om variation i undervisningen med förslag såsom miljöombyte, nyttjande av konkret material eller möjlighet till arbete närmare det egna intresseområdet. Samtliga elever beskriver dock matematikämnet som viktigt där de flesta argumenten är av funktionell karaktär. Den praktiska användbarheten av matematiken framkommer i liten utsträckning, då främst i anknytning till handel och pengahantering. / The aim of the present study is, through interviews with 12 students in year five, to investigate their views on mathematics. In order to study this, we have used a qualitative approach inspired by the phenomenographic methodology. Based on the study’s aims, three areas have been identified, in which the pupils’ views were analyzed and then categorized. The results showed a somewhat limited view of mathematics, where the course textbook heavily influenced pupils’ perceptions of the subject. The study shows that the textbook largely forms the basis both for how the subject is defined and perceived. This could be based on teaching being largely based on arithmetic exercises in the textbook itself, as is shown in students’ description of mathematics lessons. A large number of pupils correlate their enjoyment of mathematics with how far they have come in the courseware.  To be a long way into the book and to be able to calculate quickly are both key indicators of how mathematically able students consider themselves to be. In addition a majority of pupils express a desire for more variation in teaching methods, with proposals such as a change of scenery, the use of real world examples, or the possibility to concentrate on an area in which they were particularly interested. However, all pupils consider the subject of mathematics to be important, where the most common arguments are of a functional nature. The practical usefulness of mathematics was considered to be limited, mainly confined to shopping and managing money.

Sammanfattning Syftet med detta arbete är att undersöka hur lärare i år 1 och 2 definierar, använder och introducerar det matematiska språket. Detta bland annat för att förstå vilken roll det matematiska språket spelar för matematikförståelse då det sägs att svenska elevers matematikkunskaper är sämre jämfört med andra länder. Efter analysen av de kvalitativa intervjuerna med de fyra lärarna har vi, efter att ha inspirerats av fenomenografin, jämfört vår analys med vad forskningen anser om ämnet. Vi har utgått från socialkonstruktivismen och därför är kommunikation av olika slag en röd tråd genom vårt arbete. Med kommunikation menar vi här, kommunikation mellan människor, med läroböcker samt kommunikationen med konkretiseringsmaterial. I vår analys har vi kommit fram till 2 strategier med 4-5 kategorier var. Av detta har vi dragit slutsatsen att lärarna i våra intervjuer är ganska klara över sin definition av det matematiska språket, men att det är svårt att förklara innehållet i det matematiska språket på ett kortfattat sätt. De använde sig alla av kommunikation av olika slag, i sin matematikundervisning, för att få elever att bygga upp sin förståelse av det matematiska språket. Det som tydligast skilde lärarna åt i sin introduktion och användning av det matematiska språket var användningen av ett visst begrepp och orsaken till det, utnyttjandet av medveten kommunikation mellan elever och insikten över kopplingen mellan konkretisering och det matematiska språket. Enligt en ny forskning (Olander, 2010) kan elever lättare tillägna sig vetenskapliga begrepp om de får diskutera begreppen med varandra och bygga upp ett interlanguage, ett så kallat blandspråk, mellan deras vardagliga språk och det vetenskapliga språket. Detta tillsammans med Löwings (2004, 2008) uppfattning om att konkretiseringen måste byggas upp med matematiska begrepp så att man senare kan använda konkretiseringen då matematiken blir alltför abstrakt har gett oss grunden till vårt resultat. Matematik behöver utgå från elevernas erfarenhetsvärld, matematikspråkets innebörd måste diskuteras fram mellan elever och mellan lärare och elever samt att det ska finnas koppling i språket mellan konkretiseringen av matematik till det abstrakta. Vad som vi också kommit fram till är att det formella matematikspråket ska finnas i klassrummet oavsett om man diskuterar, arbetar med lärobok eller konkretiserar.

Abstrakt Studien behandlar begreppskunskap inom området positionssystemet hos elever i matematiksvårigheter. Undersökningen har gjorts i årskurs 4 och omfattar naturliga tal avseende tiobassystemet. Studien består av en kvantitativ undersökning och en kvalitativ del med intervjuer. Resultatet av studien har organiserats i tre områden som har betydelse för individens utveckling av matematiska begrepp. Talområdet 1-10, talsystemets uppbyggnad samt förståelsen av stora tal. Av resultatet framgår att förståelse av ett begrepp kan vara mer ytlig än den ser ut att vara. Brister i grundläggande begreppsförståelse kan leda till att räknesvårigheter uppstår. Svårigheter är bland annat begreppen talsort och platsvärde, särskilt i stora tal. Sökord: begrepp, matematiksvårigheter, positionssystemet, schema, specialundervisning, tiobassystemet. / Abstract The study deals with the conceptual knowledge in the positional system for pupils with mathematical difficulties. The investigation was conducted in grade four and includes natural numbers for the ten-base system. The study consists of a quantitative survey and a quality part with interviews. The result of the study has been organized into three areas which have importance to the development of mathematical concepts for individuals. The number field 1-10, rules for the building of system of numbers and the understanding of large numbers. The result shows that the understanding of a concept may be more superficial then it appears to be. Deficiency in basic conceptual understanding can lead to numeracy problems. The difficulties included the concepts place-value and magnitude of number, especially in large numbers.   Keywords: concept, mathematical difficulties, positional system, schema, special needs education, ten-base system.

This thesis explores two aspects of mathematical reasoning: affect and gender. I started by looking at the reasoning of upper secondary students when solving tasks. This work revealed that when not guided by an interviewer, algorithmic reasoning, based on memorising algorithms which may or may not be appropriate for the task, was predominant in the students reasoning. Given this lack of mathematical grounding in students reasoning I looked in a second study at what grounds they had for different strategy choices and conclusions. This qualitative study suggested that beliefs about safety, expectation and motivation were important in the central decisions made during task solving.  But are reasoning and beliefs gendered? The third study explored upper secondary school teachers conceptions about gender and students mathematical reasoning. In this study I found that upper secondary school teachers attributed gender symbols including insecurity, use of standard methods and imitative reasoning to girls and symbols such as multiple strategies especially on the calculator, guessing and chance-taking were assigned to boys. In the fourth and final study I found that students, both male and female, shared their teachers view of rather traditional feminities and masculinities. Remarkably however, this result did not repeat itself when students were asked to reflect on their own behaviour: there were some discrepancies between the traits the students ascribed as gender different and the traits they ascribed to themselves. Taken together the thesis suggests that, contrary to conceptions, girls and boys share many of the same core beliefs about mathematics, but much work is still needed if we should create learning environments that provide better opportunities for students to develop beliefs that guide them towards well-grounded mathematical reasoning.

Barn och ungdomar kan lära sig matematik på många olika sätt. Att lära in matematik utomhus är för många främmande, men kan fungera utmärkt som ett komplement till den traditionella klassrumsundervisningen i grundskolans tidigare år. Syftet med detta arbete är att undersöka utomhusmatematikens för- och nackdelar. Mina slutsatser i detta arbete är i huvudsak byggda på resultat från sex strukturerade intervjuer med pedagoger vid en skola i västra Sverige, samt forskningslitteratur. Samtliga intervjuade pedagoger har erfarenhet av att arbeta utomhus med matematik. Utomhusmatematik bidrar starkt till att konkretisera matematiken. Utomhus får barn chansen att använda fler sinnen och befäster då lättare såväl gammal som ny kunskap, samtidigt som de får chansen att använda hela kroppen. Nackdelar med att ha matematik utomhus är att det krävs mer planering och oftast fler personal. Pedagogens förhållningssätt och vilja är dock det främsta hindret som avgör om, och i vilken omfattning, utomhusmatematiken ska förekomma eller inte. / Children are able to learn mathematics in many different ways. To study and learn mathematics out of doors are not so common in today's nine-year compulsory school, but can work as a perfect complement to the usual teaching methods. The purpose of this essay is to make researches into advantages and disadvantages with outdoor mathematics. The conclusions of this essay are based on results from six structured interviews with teachers at a school in the west of Sweden, as well as literature and research. All of the teachers that have been interviewed in this essay, have experience of working with mathematics out of doors. Outdoor mathematics helps to put mathematics in a concrete form. The outdoor environment gives children a good chance to use all of their senses, which can confirm old and new knowledge, at the same time as they get the opportunity to use their whole bodies. Disadvantages with outdoor mathematics are often related to shortage of staff and increased planning from the teacher's side. In the end, the attitudes of the teacher are the major obstacle when it comes to outdoor mathematics.

Competence in mental arithmetic is recognised by many as essential to be active participants in the fast flowing, high technological society we live in today.  Many have noticed pupils’ unwillingness to set their calculators aside and practice this aspect of mathematics when possible.  Furthermore, some studies show that pupils’ ability to compute mentally deteriorates as they pass through the school system.  Through testing classes in a Swedish obligatory school and an upper secondary school, the aim of this thesis is to see if the goals set by The National [Swedish] Agency for Education regarding mental arithmetic, are being fulfilled.  Through using questionnaires to collect the strategies and ideas of the pupils, a wide range of problematic mathematical misconceptions became evident.  These are highlighted since they are important aspects teachers should be aware of.  The results of this study show that the obligatory school classes are far from reaching the goals set for them whereas the upper secondary classes show good results.  Furthermore, there is an apparent improvement in their progression, resulting in a fulfilment the official goals.  Many pupils however, seem reluctant to rely on their mental arithmetic capabilities and resort to algorithmic strategies.  Other problems to emerge are in carrying out table calculations and in a lack of number sense when deeming if the answers are reasonable.

The starting point of this work has been to get knowledge about teachers working in a mathematical workshop with the students. I also wanted to investigate what students think about math, both within the workshop and in traditional teaching. To achieve this I chose to interview a teacher in charge within the framework of a mathematical workshop, and six students in the 5th grade. I also did a lesson observation with the purpose to see how well the teacher’s tutoring agrees with the results of the interview. In this study I have discovered that the lessons in the mathematical workshop are planned after what the students are working with in the textbook. The teacher opens the lessons with the whole class and then splits it up in groups. In the interview the respondent conveys the importance of discussions among the students where they can explain their thoughts, especially for the weaker students that, thanks to the discussions are able to show their knowledge more. This is something I did not see during my lesson observation, however. The students also seemed to miss this when I spoke to them in the interview. They describe that they cannot see the connection between what they learn in the workshop and the textbook.