Zweidimensionale (2D) Materialien bieten eine Vielzahl von neuartigen Eigenschaften und sind aussichtsreich Kandidaten für ein breites Spektrum an Anwendungen. Da hexagonales Bornitrid (h-BN) für eine Integration in Heterostrukturen mit anderen 2D Materialien geeignet ist, erweckte dieses in letzter Zeit großes Interesse. Insbesondere van-der-Waals-Heterostrukturen, welche h-BN und Graphen verbinden, weisen viele potenzielle Vorteile auf, verbleiben in ihrer großflächigen Herstellung von kontinuierlichen Filmen allerdings problematisch. Diese Dissertation stellt eine Untersuchung betreffend des Wachstums von h-BN und vertikalen Heterostrukturen von Graphen und h-BN auf Ni-Substraten durch Molekularstrahlepitaxie (MBE) vor. Zuerst wurde das Wachstum von h-BN mittels elementarer B- und N-Quellen auf Ni als Wachstumssubstrat untersucht. Kristalline h-BN-Schichten konnten durch Raman-spektroskopie nachgewiesen werden. Wachstumsparameter für kontinuierliche und atomar dünne Schichten wurden erlangt. Das Keimbildungs- und Wachstumsverhalten so wie die strukturelle Güte von h-BN wurden mittels einer systemischen Veränderung der Wachstumstemperatur und -dauer untersucht. Die entsprechenden Beobachtungen wie der Änderungen der bevorzugten Keimbildungszentren, der Kristallgröße und der Bedeckung des h-BN wurden diskutiert. Ein Wachstum von großflächigen vertikalen h-BN/Graphen Heterostrukturen (h-BN auf Graphen) konnte mittels einem neuartigen, MBE-basierenden Verfahren demonstriert werden, welche es h-BN und Graphen jeweils erlaubt sich in der vorteilhaften Wachstumsumgebung, welche von Ni bereitgestellt wird, zu formen. In diesem Verfahren formt sich Graphen an der Schnittstelle von h-BN und Ni durch Präzipitation von zuvor in der Ni-Schicht eingebrachten C-Atomen. Schließlich konnte noch ein großflächiges Wachstum von Graphen/h-BN-Heterostrukturen (Graphen auf h-BN) durch das direkte abscheiden von C auf MBE-gewachsenen h-BN gezeigt werden. / Two-dimensional (2D) materials offer a variety of novel properties and have shown great promise to be used in a wide range of applications. Recently, hexagonal boron nitride (h-BN) has attracted significant attention due to its suitability for integration into heterostructures with other 2D materials. In particular, van der Waals heterostructures combining h-BN and graphene offer many potential advantages, but remain difficult to produce as continuous films over large areas. This thesis presents an investigation regarding the growth of h-BN and vertical heterostructures of graphene and h-BN on Ni substrates using molecular beam epitaxy (MBE). The growth of h-BN from elemental sources of B and N was investigated initially by using Ni as the growth substrate. The presence of crystalline h-BN was confirmed using Raman spectroscopy. Growth parameters resulting in continuous and atomically thin h-BN films were obtained. By systematically varying the growth temperature and time the structural quality as well as the nucleation and growth behavior of h-BN was studied. Corresponding observations such as changes in preferred nucleation site, crystallite size, and coverage of h-BN were discussed. Growth of h-BN/graphene vertical heterostructures (h-BN on graphene) over large areas was demonstrated by employing a novel MBE-based technique, which allows both h-BN and graphene to form in the favorable growth environment provided by Ni. In this technique, graphene forms at the interface of h-BN/Ni via the precipitation of C atoms previously dissolved in the thin Ni film. No evidence for the formation of BCN alloy could be found. Additionally, the suitability of ultraviolet Raman spectroscopy for characterization of h-BN/graphene heterostructures was demonstrated. Finally, growth of large-area graphene/h-BN heterostructures (graphene on h-BN) was demonstrated via the direct deposition of C on top of MBE-grown h-BN.

Verschiedene Schulleistungsstudien stellten für Kinder mit nicht-deutscher Familiensprache bereits in der Grundschule substanzielle Disparitäten im Bereich Mathematik fest. Diese Disparitäten führten zu der Frage, ob die verwendeten Testverfahren zu hohe sprachliche Hürden für Kinder mit nicht-deutscher Familiensprache aufweisen und daher nicht ausreichend in der Lage sind, die Kompetenzen dieser Gruppe valide zu erfassen. In dieser kumulativen Arbeit wurde geprüft, inwiefern die sprachliche Komplexität von Mathematikaufgaben in der Grundschule einen benachteiligenden Einfluss auf die Erfassung der Mathematikleistung von Kindern mit nicht-deutscher Familiensprache darstellt. Zunächst wurde geprüft, ob die in nationalen Schulleistungsstudien verwendeten Aufgaben für diese Gruppe differenziell valide sind. Daran anschließend wurde untersucht, ob sich itemspezifische Kompetenznachteile durch die sprachlichen Merkmale der Aufgaben erklären lassen. In der vorliegenden Arbeit konnte gezeigt werden, dass die differenzielle Validität der betrachteten Testverfahren für Kinder mit nicht-deutscher Familiensprache insgesamt gering ausgeprägt ist. Ferner wurde festgestellt, dass sich die einzelnen sprachlichen Merkmale der Aufgaben sowohl spezifisch als auch gemeinsam auf die differenzielle Validität auswirken. Der größte Anteil der itemspezifischen Kompetenznachteile wurde durch mehrere Merkmale gemeinsam aufgeklärt. Eine experimentelle Teilstudie zeigte, dass eine sprachliche Vereinfachung nicht geeignet scheint, um die Kompetenznachteile von Kindern mit nicht-deutscher Familiensprache substanziell zu verringern. Ein Vergleich der Effekte sprachlicher Merkmale von Mathematikaufgaben auf die Mathematikleistungen von Kindern mit nicht-deutscher Familiensprache zwischen der dritten und der vierten Klassenstufe ergab, dass sich die sprachliche Komplexität der Aufgaben vor allem für jüngere Grundschulkinder unabhängig von ihrer Familiensprache benachteiligend auswirkte. / Large-scale assessment studies have repeatedly documented performance disadvantages of language minority students in German elementary schools. The substantial achievement gap has led to concerns regarding the validity of large-scale assessment items for language minority students. It may be the case that these performance differences are, in part, due to high language demands of the test items. These items may selectively disadvantage language minority students in the testing situation. This dissertation project investigated the connection between the academic language demands of mathematics test items and the test performance of monolingual students and language minority students. First, it was investigated whether the test items were differentially valid for language minority students. Moreover, the connection between the differential validity and the linguistic complexity of the test items was tested. The findings indicated that overall, differential validity of the examined tests for language minority students was low. However, the test items’ language demands were related to differential validity. The largest proportion of item-specific performance disadvantages was explained by confounded combinations of several linguistic features. Additionally, unique effects of descriptive, lexical, and grammatical features were identified. An experimental study showed that linguistic simplification did not seem to be a promising method to substantially reduce the performance differences between language minority students and German monolingual students. A comparison of differential effects of mathematics items’ language demands for language minority students over two adjacent grade levels indicated that the impact of academic language demands seemed to depend on grade level rather than on language minority student status. Regardless of their home language, younger students seemed to struggle more with linguistically complex test items than older students.

Der Grenzwert kleiner Deformationen in Anwesenheit eines gegebenen Risses wird in drei verschiedenen kontinuumsmechanischen Modellen betrachtet. Erstens wird für rein statische Elastizität mit finiter Spannung im Grenzwert kleiner Belastung bewiesen, dass die Nebenbedingung globaler Injektivität im Sinne der Gamma-Konvergenz eine lokale Nichtdurchdringungsbedingung auf dem Riss ergibt. Zweitens wird Deformationsplastizität mit finiten Spannungen und multiplikativer Zerlegung des Spannungstensors behandelt und die Gamma-Konvergenz zu linearisierter Deformationsplastizität mit Rissbedingungen gezeigt. Drittens wird die ratenunabhängige Evolution der Elastoplastizität betrachtet mit einer allgemeineren Klasse globaler Injektivitätsbedingungen für den finiten Fall. Hierbei wird einerseits die evolutionäre Gamma-Konvergenz unter Vernachlässigung der Nebenbedinung gezeigt, andererseits eine Vermutung aufgestellt, unter deren Voraussetzung die evolutionäre Gamma-Konvergenz auch mit Rissbedingungen gilt. / The small-deformation limit in presence of a given crack is considered in three distinct continuummechanical models. First, a purely static finite-strain elasticity model is considered in the limit of small loading, where the constraint of global injectivity is shown to converge in the sense of Gamma-convergence to a local constraint of non-interpenetration along the crack. Second, finitestrain deformation plasticity based on the multiplicative decomposition of the strain tensor is shown to Gamma-converge to linearized deformation elastoplasticity with crack conditions. Third, the rate-independent evolution of elastoplasticity is considered with a generalized class of global injectivity constraints for the finite-strain model. On the one hand, neglecting the constraints the evolutionary Gamma-converge to linearized elastoplasticity is proven. On the other hand, a conjecture is made, subject to which the evolutionary Gamma-convergence with constraints still holds.

Die Ergebnisse aus den beiden Dauerfeldversuchen verdeutlichen, dass die mineralische N Düngung wie erwartet den größten Einfluss auf die Höhe der THG Emissionen hat. Die höchsten THG Minderungspotenziale zeigten sich folglich in der Reduktion der mineralischen N Düngung, insbesondere wenn die N Düngung oberhalb des standortspezifischen Ertragsoptimums liegt. Die Anpassung der Fruchtfolge kann zur Erhöhung der Bodenkohlenstoff-Vorräte beitragen und letztendlich die THG Emissionen mindern, allerdings bedarf diese These weiterer Untersuchungen. Die Ergebnisse haben weiterhin gezeigt, dass mit dem Aufbau organischer Bodensubstanz durch Stalldung erhebliche Potenziale zur THG-Minderung verbunden sind. Je nach methodischem Ansatz zur Berücksichtigung von Bodenkohlenstoff-Veränderungen ergaben sich allerdings große Unterschiede in den THG-Bilanzen und letztendlich auch in den ermittelten THG-Minderungspotenzialen. Die Entwicklung eines einheitlichen wissenschaftlichen Verfahrens zur Berücksichtigung von Bodenkohlenstoff-Veränderungen wird deshalb empfohlen. Die Ergebnisse aus der Fallstudie haben gezeigt, dass die THG Minderung in der landwirtschaftlichen Praxis eine Veränderung der Ackerflächenverhältnisse erfordert. In diesem Zusammenhang ist der Anbau emissionsintensiver Fruchtarten mit einer intensiven mineralischen N Düngung wie beispielsweise Winterraps zu reduzieren und durch den Anbau emissionsarmer Fruchtarten zu ersetzen. Im untersuchten landwirtschaftlichen Betrieb erwiesen sich Mais mit organischer N Düngung sowie der Anbau von Leguminosen als besonders emissionsarm. In der vorliegenden Arbeit konnte darüber hinaus gezeigt werden, dass ein positiver Beitrag der ackerbaulichen Bodennutzung zur THG Minderung nicht zwangsläufig mit höheren Kosten für den Landwirtschaftsbetrieb verbunden sein muss, wenn bei der betriebswirtschaftlichen Optimierung die THG Emissionen angebauter Fruchtarten berücksichtigt werden. / The aim of this study was to analyze the potential for reducing greenhouse gas (GHG) emissions in different land use systems on sandy soils in the Brandenburg region in Germany, based on two long-term field experiments at Thyrow and Groß Kreutz and an on farm case study. The calculations of the GHG balances are based on the LCA standard and the German emission report guidelines. There is currently no scientific consensus on how soil organic carbon changes are to be included in GHG balances. Therefore, different approaches to include soil organic carbon changes in GHG calculations from long-term field experiments were examined. The results of the long-term field experiments showed that mineral nitrogen fertilization had the greatest influence on GHG emissions. The reduction of mineral nitrogen fertilization consequently showed the biggest GHG reduction potential especially if nitrogen fertilization was above the local level. The adaptation of crop rotations may increase soil organic carbon content and thereby mitigate GHG emissions, but this hypothesis requires further research. An increase of soil organic carbon stocks by organic fertilization was shown for the use of farmyard manure. Although this had a high GHG reduction potential, there were large differences between the analytical approaches. This highlights the need to develop standardized scientific methods for assessing GHG emissions from cropping systems. The results of the case study showed that changing the proportions of different crop species can be used for GHG reduction. In particular, the reduction of crops with high mineral nitrogen demand, e.g. oilseed rape, and the substitution with crops having low GHG emissions is recommended. Maize, receiving high rates of organic fertilizer, as well as legumes showed low GHG emissions on the evaluated farm. Furthermore, this study elaborates the potential economic benefit for agricultural enterprises with regards to the correlation of GHG reduction and an optimized crop rotation.

Diese Arbeit behandelt zwei Gebiete: stochastische partielle Rückwerts-Differentialgleichungen (BSPDEs) und Mean-Field-Games (MFGs). Im ersten Teil wird über eine stochastische Variante der De Giorgischen Iteration ein Maximumprinzip für quasilineare reflektierte BSPDEs (RBSPDEs) auf allgemeinen Gebieten bewiesen. Als Folgerung erhalten wir ein Maximumprinzip für RBSPDEs auf beschränkten, sowie für BSPDEs auf allgemeinen Gebieten. Abschließend wird das lokale Verhalten schwacher Lösungen untersucht. Im zweiten Teil zeigen wir zunächst die Existenz von Gleichgewichten in MFGs mit singulärer Kontrolle. Wir beweisen, dass die Lösung eines MFG ohne Endkosten und ohne Kosten in der singulären Kontrolle durch die Lösungen eines MFGs mit strikt regulären Kontrollen approximiert werden kann. Die vorgelegten Existenz- und Approximationsresultat basieren entscheidend auf der Wahl der Storokhod M1 Topologie auf dem Raum der Càdlàg-Funktion. Anschließend betrachten wir ein MFG optimaler Portfolioliquidierung unter asymmetrischer Information. Die Lösung des MFG charakterisieren wir über eine stochastische Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichung (FBSDE) mit singulärer Endbedingung der Rückwärtsgleichung oder alternativ über eine FBSDE mit endlicher Endbedingung, jedoch singulärem Treiber. Wir geben ein Fixpunktargument, um die Existenz und Eindeutigkeit einer Kurzzeitlösung in einem gewichteten Funktionenraum zu zeigen. Dies ermöglicht es, das ursprüngliche MFG mit entsprechenden MFGs ohne Zustandsendbedinung zu approximieren. Der zweite Teil wird abgeschlossen mit einem Leader-Follower-MFG mit Zustandsendbedingung im Kontext optimaler Portfolioliquidierung bei hierarchischer Agentenstruktur. Wir zeigen, dass das Problem beider Spielertypen auf singuläre FBSDEs zurückgeführt werden kann, welche mit ähnlichen Methoden wie im vorangegangen Abschnitt behandelt werden können. / The thesis is concerned with two topics: backward stochastic partial differential equations and mean filed games. In the first part, we establish a maximum principle for quasi-linear reflected backward stochastic partial differential equations (RBSPDEs) on a general domain by using a stochastic version of De Giorgi’s iteration. The maximum principle for RBSPDEs on a bounded domain and the maximum principle for BSPDEs on a general domain are obtained as byproducts. Finally, the local behavior of the weak solutions is considered. In the second part, we first establish the existence of equilibria to mean field games (MFGs) with singular controls. We also prove that the solutions to MFGs with no terminal cost and no cost from singular controls can be approximated by the solutions, respectively control rules, for MFGs with purely regular controls. Our existence and approximation results strongly hinge on the use of the Skorokhod M1 topology on the space of càdlàg functions. Subsequently, we consider an MFG of optimal portfolio liquidation under asymmetric information. We prove that the solution to the MFG can be characterized in terms of a forward backward stochastic differential equation (FBSDE) with possibly singular terminal condition on the backward component or, equivalently, in terms of an FBSDE with finite terminal value, yet singular driver. We apply the fixed point argument to prove the existence and uniqueness on a short time horizon in a weighted space. Our existence and uniqueness result allows to prove that our MFG can be approximated by a sequence of MFGs without state constraint. The final result of the second part is a leader follower MFG with terminal constraint arising from optimal portfolio liquidation between hierarchical agents. We show the problems for both follower and leader reduce to the solvability of singular FBSDEs, which can be solved by a modified approach of the previous result.

Diese Arbeit untersucht eine Reihe multiplikativer Preiseinflussmodelle für das Handeln in einer riskanten Anlage. Unser risikoneutraler Investor versucht seine zu erwartenden Handelserlöse zu maximieren. Zunächst modellieren wir den vorübergehende Preiseinfluss als deterministisches Funktional der Handelsstrategie. Wir stellen den Zusammenhang mit Limit-Orderbüchern her und besprechen die optimale Strategie zum Auf- bzw. Abbau einer Anlageposition bei a priori unbeschränkem Anlagehorizont. Anschließend lösen wir das Optimierungsproblem mit festem Anlagehorizon in zwei Schritten. Mittels Variationsrechnung lässt sich die freie Grenzefläche, die Kauf- und Verkaufsregionen trennt, als lokales Optimum identifizieren, was entscheidend für die Verifikation globaler Optimalität ist. Im zweiten Teil der Arbeit erweitern wir den zwischengeschalteten Markteinflussprozess um eine stochastische Komponente, wodurch optimale Strategien dynamisch an zufällige Liquiditätsschwankungen adaptieren. Wir bestimmen die optimale Liquidierungsstrategie im zeitunbeschränkten Fall als die reflektierende Lokalzeit, die den Markteinfluss unterhalb eines explizit beschriebenen nicht-konstanten Grenzlevels hält. Auch dieser Beweis kombiniert Variationsrechnung und direkten Methoden. Um nun eine Zeitbeschränkung zu ermöglichen, müssen wir Semimartingalstrategien zulassen. Skorochods M1-Toplogie ist der Schlüssel, um die Klasse der möglichen Strategien in einer umfangreichen Familie von Preiseinflussmodellen, welche sowohl additiven, als auch multiplikativen Preiseinfluss umfasst, mit deterministischer oder stochastischer Liquidität, eindeutig von endlichen Variations- auf allgemeine càdlàg Strategien zu erweitern. Nach Einführung proportionaler Transaktionskosten lösen wir das entsprechende eindimensionale freie Grenzproblem des optimalen unbeschränkten Handels und beleuchten mögliche Lösungsansätze für das Liquidierungsproblem, das mit dem Verkauf der letzten Anleihe endet. / In this thesis, we study a class of multiplicative price impact models for trading a single risky asset. We model price impact to be multiplicative so that prices are guaranteed to stay non-negative. Our risk-neutral large investor seeks to maximize expected gains from trading. We first introduce a basic variant of our model, wherein the transient impact is a deterministic functional of the trading strategy. We draw the connection to limit order books and give the optimal strategy to liquidate or acquire an asset position infinite time horizon. We then solve the optimization problem for finite time horizon two steps. Calculus of variations allows to identify the free boundary surface that separates buy and sell regions and moreover show its local optimality, which is a crucial ingredient for the verification giving (global) optimality. In the second part of the thesis, we add stochasticity to the auxiliary impact process. This causes optimal strategies to dynamically adapt to random changes in liquidity. We identify the optimal liquidation strategy in infinite horizon as the reflection local time which keeps the market impact process below an explicitly described non-constant free boundary level. Again the proof technique combines classical calculus of variations and direct methods. To now impose a time constraint, we need to admit semimartingale strategies. Skorokhod's M1 topology is key to uniquely extend the class of admissible controls from finite variation to general càdlàg strategies in a broad class of market models including multiplicative and additive price impact, with deterministic or stochastic liquidity. After introducing proportional transaction costs in our model, we solve the related one-dimensional free boundary problem of unconstrained optimal trading and highlight possible solution methods for the corresponding liquidation problem where trading stops as soon as all assets are sold.

In dieser Dissertation untersuchen wir das Verhalten von Schrödinger-Operatoren unter Riemannschen Überlagerungen. Wir betrachten folgende Situation: Sei eine Riemannsche Überlagerung und ein Schrödinger-Operator S mit glattem, von unten beschränktem Potential auf der Basismannigfaltigkeit gegeben. Sei S‘ der Lift von S auf die Überlagerungsmannigfaltigkeit. Man sieht leicht, dass das Minimum des Spektrums von S nicht größer als das Minimum des Spektrums von S‘ ist. R. Brooks hat als erster untersucht, wann die Gleichheit gilt. Er bewies insbesondere, dass eine normale Riemannsche Überlagerung einer geschlossenen Mannigfaltigkeit genau dann amenabel ist, wenn sie das Minimum des Spektrums des Laplace-Operators unverändert lässt. Zusammen mit W. Ballmann und H. Matthiesen bewiesen wir, dass amenable Riemannsche Überlagerungen immer das Minimum des Spektrums von Schrödinger-Operatoren erhalten; dies verallgemeinert Resultate von R. Brooks sowie von P. Bérard und Ph. Castillon. In dieser Dissertation beweisen wir, dass im Fall vollständiger Mannigfaltigkeiten das Spektrum von S im Spektrum von S‘ enthalten ist. Tatsächlich beweisen wir diese Beziehung sogar für eine deutlich größere Klasse von Differentialoperatoren. Obwohl Amenabilität eine natürliche Bedingung für die Gleichheit der Minima der Spektren ist, ist es unklar, inwieweit diese Bedingung optimal ist. In dieser Dissertation beweisen wir: Wenn eine Riemannsche Überlagerung das Minimum des Spektrums eines Schrödinger-Operators erhält, und wenn dieses zum diskreten Spektrum des Operators auf der Basismannigfaltigkeit gehört, dann ist die Überlagerung amenabel. Man beachte, dass wir keinerlei geometrische oder topologische Bedingungen an die Mannigfaltigkeiten stellen. Dies verallgemeinert sowohl frühere Resultate von R. Brooks, T. Roblin und S. Tapie als auch ein kürzliches Resultat aus einer gemeinsamen Arbeit mit W. Ballmann und H. Matthiesen. / In this thesis, we investigate the behavior of the spectrum of Schrödinger operators under Riemannian coverings. To set the stage, consider a Riemannian covering and a Schrödinger operator S on the base manifold, with smooth potential bounded from below potential. Let S’ be the lift of S on the covering space. It is easy to see that the bottom (that is, the minimum) of the spectrum of S is no greater than the bottom of the spectrum of S’. R. Brooks was the first one to examine when the equality holds. In particular, he proved that a normal Riemannian covering of a closed manifold is amenable if and only if it preserves the bottom of the spectrum of the Laplacian. Generalizing former results of R. Brooks, and P. Berard and Ph. Castillon, in a joint work with W. Ballmann and H. Matthiesen, we proved that amenable Riemannian coverings preserve the bottom of the spectrum of Schrödinger operators. In this thesis, we prove that if, in addition, the manifolds are complete, then the spectrum of S is contained in the spectrum of S’. As a matter of fact, we establish this result for a quite wide class of differential operators. Although amenability is a natural assumption for the preservation of the bottom of the spectrum, it is not clear to what extent it is optimal. In this thesis, we prove that if a Riemannian covering preserves the bottom of the spectrum of a Schrödinger operator, which belongs to the discrete spectrum of the operator on the base manifold, then the covering is amenable. It is worth to point out that we do not impose any geometric or topological assumptions on the manifolds. This generalizes former results by R. Brooks, T. Roblin and S. Tapie, and a recent result of a joint work with W. Ballmann and H. Matthiesen.

In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura- Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational invariant sind. Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov- Körpern in Beziehung. Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen. Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen Kompaktifizierung Vorteile bietet. / In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non- compact type. The tools available until now do not define numerical invariants which are birationally invariant. First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b- divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies. Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con- ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex- plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection numbers. Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one canonical compactification.

Diese Arbeit liefert, in den ersten beiden Kapiteln einen allgemeinen Überblick über die klassischen Ansätze zur Optimierung unter Unsicherheit mit einem Schwerpunkt auf probabilistischen Randbedingung. Anschließend wird im dritten Kapitel eine neue Klasse von sogenannten Probust Randbedingungen beim Auftreten von Modellen mit unsicheren Parametern mit teilweise stochastischem und teilweise nicht-stochastischem Charakter eingeführt. Wir zeigen dabei die Relevanz dieser Aufgabentypen für zwei Problemstellungen in einem stationären Gasnetz auf. Erstens liegen beim Gastransport probabilistische Randbedingungen bezüglich der Gasnachfrage vor sowie auch robuste Randbedin- gungen bezüglich der Rauheitskoeffizienten in den Rohren, welche in der Regel unbekannt sind, da es keine zuverlässigen Messmöglichkeiten gibt. Zweitens lösen wir ein Problem für einen Netzbetreiber, der zum Ziel hat, die angebotene Kapazität für alte und neue Kunden zu maximieren. In diesem Fall ist man mit einer ungewis- sen Gesamtnachfrage konfrontiert, die sich aus der probabilistischen Nachfrage für Altkunden und der robusten Nachfrage für Neukunden zusammensetzt. Für beide Fälle zeigen wir, wie mit probusten Randbedingungen im Rahmen der sogenannten sphärisch-radialen Zerlegung multivariater Gauß-Verteilungen umgegangen werden kann. Starke und schwache Halbstetigkeitsergebnisse werden für den allgemeinen Fall, in Abhängigkeit davon ob Strategien in Lebesgue oder Sobolev Räumen angenommen werden, erstellt. Für ein ein- faches zweistufiges Modell werden überprüfbare Bedingungen für die Lipschitz- Stetigkeit und die Differenzierbarkeit dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion abgeleitet und mit expliziten Ableitungsformeln unterstützt. Diese Werkzeuge werden dann verwendet, um das Problem des Bäckers und zwei Probleme des Wasserkraftmanagements zu lösen. / This thesis offers, in the first and second chapter, a general overview of the classical approaches to solving optimization under uncertainty, with a focus on probabilistic constraints. Then, in the third chapter, a new class of so-called Probust constraints is introduced in the presence of models with uncertain parameters having partially stochastic and partially non-stochastic character. We show the relevance of this class of approach and solve two problems in a stationary gas network. First, in the context of gas transportation, one ends up with a constraint, which is probabilistic with respect to the load of gas and robust with respect to the roughness coefficients of the pipes (which are uncertain due to a lack of attainable measurements). Secondly, we solve a problem for a network operator, who would like to maximize the offered capacity for old and new customers. In this case, one is faced with an uncertain total demand which is probabilistic for old clients and robust for new clients. In both problems, we demonstrate how probust constraints can be dealt within the framework of the so-called spheric-radial decomposition of multivariate Gaussian distributions. Furthermore, in chapter four, we present novel structural and numerical results for optimization problems under a dynamic joint probabilistic constraint. Strong and weak semicontinuity results are obtained for the general case depending on whether policies are supposed to be in Lebesgue or Sobolev spaces. For a simple two-stage model, verifiable conditions for Lipschitz continuity and differentiability of this probability function are derived and endowed with explicit derivative formulae. These tools are then used to solve the Baker's problem and two hydro-power management problems.

This thesis deals with optimizing extremal eigenvalues of weighted graph Laplacian matrices. In general, the Laplacian matrix of a (weighted) graph is of particular importance in spectral graph theory and combinatorial optimization (e.g., graph partition like max-cut and graph bipartition). Especially the pioneering work of M. Fiedler investigates extremal eigenvalues of weighted graph Laplacians and provides close connections to the node- and edge-connectivity of a graph. Motivated by Fiedler, Göring et al. were interested in further connections between structural properties of the graph and the eigenspace of the second smallest eigenvalue of weighted graph Laplacians using a semidefinite optimization approach. By redistributing the edge weights of a graph, the following three optimization problems are studied in this thesis: maximizing the second smallest eigenvalue (based on the mentioned work of Göring et al.), minimizing the maximum eigenvalue and minimizing the difference of maximum and second smallest eigenvalue of the weighted Laplacian. In all three problems a semidefinite optimization formulation allows to interpret the corresponding semidefinite dual as a graph realization problem. That is, to each node of the graph a vector in the Euclidean space is assigned, fulfilling some constraints depending on the considered problem. Optimal realizations are investigated and connections to the eigenspaces of corresponding optimized eigenvalues are established. Furthermore, optimal realizations are closely linked to the separator structure of the graph. Depending on this structure, on the one hand folding properties of optimal realizations are characterized and on the other hand the existence of optimal realizations of bounded dimension is proven. The general bounds depend on the tree-width of the graph. In the case of minimizing the maximum eigenvalue, an important family of graphs are bipartite graphs, as an optimal one-dimensional realization may be constructed. Taking the symmetry of the graph into account, a particular optimal edge weighting exists. Considering the coupled problem, i.e., minimizing the difference of maximum and second smallest eigenvalue and the single problems, i.e., minimizing the maximum and maximizing the second smallest eigenvalue, connections between the feasible (optimal) sets are established.