Im Rahmen von drei Teilstudien wurde mathematische Schülerleistung aus einer differentialpsychologischen Perspektive untersucht. Die hierfür verwendeten Daten stammten von 29.386 deutschen Neuntklässlern, die am Programme for International Student Assessment (PISA) im Jahr 2000 teilnahmen. In Studie 1 wurden ausgehend von Strukturtheorien kognitiver Fähigkeiten verschiedene Strukturmodelle mathematischer Schülerleistung konfirmatorisch geprüft. So wurde mathematische Schülerleistung in Form eines Nested-Faktormodell als additive Funktion einer mathematikspezifischen Fähigkeit (M´) und der allgemeinen kognitiven Fähigkeit (g) spezifiziert. Dieses Modell wies einen besseren Modellfit auf als das in der psychologischen Forschung dominierende Standardmodell. Für Letzteres wurde angenommen, dass Maße mathematischer Schülerleistung nur von einer generellen mathematischen Fähigkeit (M) beeinflusst werden. In Studie 2 wurden Schulformunterschiede mit konfirmatorischen Mehrgruppen-Faktormodellen untersucht. Schulformspezifische Mittelwertunterschiede in M waren im Standardmodell wesentlich stärker ausgeprägt als bei M´ im Nested-Faktormodell. Weiterhin wurde eine schulformspezifische Differenzierungshypothese für M´ untersucht. Entgegen der Erwartung konnte diese nur sehr eingeschränkt von den Daten gestützt werden. In Studie 3 wurde die Validität mathematischer Schülerleistung im Hinblick auf soziodemografische und motivationale Schülermerkmale sowie Schulnoten analysiert. Bei Verwendung des Nested-Faktormodells resultierte ein im Vergleich zum Standardmodell wesentlich differenzierteres Befundmuster. So waren Geschlechterunterschiede (zu Gunsten der Jungen) in M´ im Nested-Faktormodell deutlich stärker ausgeprägt als bei M im Standardmodell. Implikationen und Perspektiven der drei Teilstudien werden für die psychologische Forschung, die Lehr-Lernforschung, die Konzeption von Schülerleistungsstudien sowie für die pädagogische Praxis diskutiert. / Three studies investigated mathematics achievement from an individual differences perspective, using data from 29,386 German ninth graders who participated in the 2000 cycle of the OECD’s Programme for International Student Assessment (PISA). In study 1, different structural models of mathematics achievement were derived from structural theories of cognitive abilities, and tested empirically using confirmatory methods. In a nested-factor model, mathematics achievement was specified to be an additive function of specific mathematical ability (M´) and general cognitive ability (g). This model provided a better fit than the standard model that predominates in psychological research, which assumes that measures of mathematical achievement are only influenced by general mathematical ability (M). In study 2, differences between types of schools were analyzed using confirmatory multigroup factor analytic models. Mean differences in M in the standard model were much stronger than in M´ in the nested-factor model. A school-type-specific differentiation hypothesis for M´ was also investigated. Contrary to predictions, the data provided only limited support for this hypothesis. Study 3 analyzed the validity of mathematics achievement with respect to sociodemographic and motivational student characteristics and school grades. The nested-factor model yielded a much more differentiated pattern of results than the standard model. For example, gender differences (in favor of boys) were much more pronounced in M´ in the nested-factor model than in M in the standard model. The implications and future perspectives of studies 1 to 3 are discussed with respect to psychological and educational research, design of large-scale achievement studies, and educational practice.

Die biotechnologischen Entwicklungen der letzten Jahre ermöglichen eine immer detailliertere Untersuchung von genetischen und molekularen Markern mit multiplen komplexen Traits. Allerdings liefern vorhandene statistische Methoden für diese komplexen Analysen oft keine valide Inferenz. Das erste Ziel der vorliegenden Arbeit ist, zwei neue statistische Methoden für Assoziationsstudien von genetischen Markern mit multiplen Phänotypen zu entwickeln, effizient und robust zu implementieren, und im Vergleich zu existierenden statistischen Methoden zu evaluieren. Der erste Ansatz, C-JAMP (Copula-based Joint Analysis of Multiple Phenotypes), ermöglicht die Assoziation von genetischen Varianten mit multiplen Traits in einem gemeinsamen Copula Modell zu untersuchen. Der zweite Ansatz, CIEE (Causal Inference using Estimating Equations), ermöglicht direkte genetische Effekte zu schätzen und testen. C-JAMP wird in dieser Arbeit für Assoziationsstudien von seltenen genetischen Varianten mit quantitativen Traits evaluiert, und CIEE für Assoziationsstudien von häufigen genetischen Varianten mit quantitativen Traits und Ereigniszeiten. Die Ergebnisse von umfangreichen Simulationsstudien zeigen, dass beide Methoden unverzerrte und effiziente Parameterschätzer liefern und die statistische Power von Assoziationstests im Vergleich zu existierenden Methoden erhöhen können - welche ihrerseits oft keine valide Inferenz liefern. Für das zweite Ziel dieser Arbeit, neue genetische und transkriptomische Marker für kardiometabolische Traits zu identifizieren, werden zwei Studien mit genom- und transkriptomweiten Daten mit C-JAMP und CIEE analysiert. In den Analysen werden mehrere neue Kandidatenmarker und -gene für Blutdruck und Adipositas identifiziert. Dies unterstreicht den Wert, neue statistische Methoden zu entwickeln, evaluieren, und implementieren. Für beide entwickelten Methoden sind R Pakete verfügbar, die ihre Anwendung in zukünftigen Studien ermöglichen. / In recent years, the biotechnological advancements have allowed to investigate associations of genetic and molecular markers with multiple complex phenotypes in much greater depth. However, for the analysis of such complex datasets, available statistical methods often don’t yield valid inference. The first aim of this thesis is to develop two novel statistical methods for association analyses of genetic markers with multiple phenotypes, to implement them in a computationally efficient and robust manner so that they can be used for large-scale analyses, and evaluate them in comparison to existing statistical approaches under realistic scenarios. The first approach, called the copula-based joint analysis of multiple phenotypes (C-JAMP) method, allows investigating genetic associations with multiple traits in a joint copula model and is evaluated for genetic association analyses of rare genetic variants with quantitative traits. The second approach, called the causal inference using estimating equations (CIEE) method, allows estimating and testing direct genetic effects in directed acyclic graphs, and is evaluated for association analyses of common genetic variants with quantitative and time-to-event traits. The results of extensive simulation studies show that both approaches yield unbiased and efficient parameter estimators and can improve the power of association tests in comparison to existing approaches, which yield invalid inference in many scenarios. For the second goal of this thesis, to identify novel genetic and transcriptomic markers associated with cardiometabolic traits, C-JAMP and CIEE are applied in two large-scale studies including genome- and transcriptome-wide data. In the analyses, several novel candidate markers and genes are identified, which highlights the merit of developing, evaluating, and implementing novel statistical approaches. R packages are available for both methods and enable their application in future studies.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen mathematischen Fragestellungen hinsichtlich der Modellierung, Analysis und numerischen Simulation von Gasnetzen. Hierbei liegt der Fokus auf der mathematischen Handhabung von partiellen differential-algebraischen Gleichungen, die mit algebraischen Gleichungen gekoppelt sind. Diese bieten einen einfachen Zugang hinsichtlich der Modellierung von dynamischen Strukturen auf Netzen Somit sind sie insbesondere für Gasnetze geeignet, denen im Zuge der steigenden Bedeutung von erneuerbaren Energien ein gestiegenes Interesse seitens der Öffentlichkeit, Politik und Wissenschaft entgegen gebracht wird. Wir führen zunächst die gängigsten Elemente, die in Gasnetzen benötigt werden ein und formulieren zwei PDAE-Klassen für solche Netze: Eine für reine Rohrnetze, und eine, die zusätzliche Elemente wie Verdichter und Widerstände beinhaltet. Des Weiteren untersuchen wir die Sensitivität der Lösung der Rohrnetz-PDAE hinsichtlich Störungen. Dabei berücksichtigen wir Störungen, die nicht nur den dynamischen Teil der PDAE beeinflussen, sondern auch Störungen in den algebraischen Gleichungen und weisen Stabilitätseigenschaften für die Lösung der PDAE nach. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit einer neu entwickelten, an die Netztopologie angepassten Ortsdiskretisierung, welche die Stabilitätseigenschaften der PDAE auf DAE Systeme überträgt. Des Weiteren zeigen wir, wie sich die Gasnetz-DAE zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung, welche die inhärente Dynamik der DAE widerspiegelt entkoppeln lässt. Dieses entkoppelte System kann darüber hinaus direkt aus den Topologie- und Elementinformationen des Netzes aufgestellt werden. Abschließend demonstrieren wir die Ergebnisse an Benchmark-Gasnetzen. Dabei vergleichen wir sowohl die entkoppelte Differentialgleichung mit dem ursprünglichen DAE System, zeigen aber auch, welche Vorteile die an die Netztopologie angepasste Ortsdiskretisierung gegenüber existierenden Verfahren besitzt. / This thesis addresses several aspects regarding modelling, analysis and numerical simulation of gas networks. Hereby, our focus lies on (partial) differential-algebraic equations, thus systems of partial and ordinary differential equations which are coupled by algebraic equations. These coupled systems allow an easy approach towards the modelling of dynamic structures on networks. Therefore, they are well suited for gas networks, which have gained a rise of attention in society, politics and science due to the focus towards renewable energies. We give an introduction towards gas network modelling that includes the most common elements that also appear in real gas networks and present two PDAE systems: One for pipe networks and one that includes additional elements like resistors and compressors. Furthermore, we investigate the impact of perturbations onto the pipe network PDAE, where we explicitly allow perturbations to affect the system in the differential as well as in the algebraic components. We conclude that the solution of the PDAE possesses stability properties. In addition, this thesis introduces a new spatial discretisation that is adapted to the net- work topology. This topology-adapted semi-discretisation results in a DAE which possesses the same perturbation behaviour as the space continuous PDAE. Furthermore, we present a topology based decoupling procedure that allows to reformulate the DAE as an ordinary differential equation (ODE), which represents the inherent dynamics of the DAE system. This ODE, together with a decoupled set of algebraic equations, can be derived from the topology and element information directly. We conclude by demonstrating the established results for several benchmark networks. This includes a comparison of numerical solutions for the decoupled ODE and the DAE system. In addition we present the advantages of the topology-adapted spatial discretisation over existing well established methods.

Zur Simulation technischer Prozesse ist eine hinreichend genaue Beschreibung des Materialverhaltens notwendig. Die hierfür häufig verwendeten phänomenologischen Ansätze, wie im vorliegenden Fall die HILLsche Fließbedingung, enthalten materialspezifische Parameter, welche nicht direkt messbar sind. Die Identifikation dieser Materialparameter erfolgt in der Regel durch Minimierung eines Fehlerquadratfunktionals, welches Differenzen von Messwerten und zugehörigen numerisch berechneten Vergleichswerten enthält. In diesem Zusammenhang haben sich zur Lösung dieser Minimierungsaufgabe die Trust-Region Verfahren als gut geeignet herausgestellt. Die Aufgabe besteht darin, die verschiedenen Möglichkeiten zur Steuerung eines Trust-Region Verfahrens, im Hinblick auf die Eignung für das vorliegende Identifikationsproblem, zu untersuchen. Dazu werden die Quadratmittelprobleme und deren Lösungsverfahren überblicksmäßig betrachtet. Danach wird näher auf die Trust-Region Verfahren eingegangen, wobei sich im Weiteren auf Verfahren mit positiv definiten Ansätzen für die Hesse-Matrix, den Levenberg-Marquardt Verfahren, beschränkt wird. Danach wird ein solcher Levenberg-Marquardt Algorithmus in verschiedenen Ausführungen implementiert und an dem vorliegenden Identifikationsproblem getestet. Als Ergebnis stellt sich eine gute Kombination aus verschiedenen Teilalgorithmen des Levenberg-Marquardt Algorithmus mit einer hohen Konvergenzgeschwindigkeit heraus, welche für das vorliegende Problem gut geeignet ist.

Die kontinuierliche Weiterentwicklung und Verbesserung technischer Prozesse erfolgt heute auf der Basis stochastischer und deterministischer Optimierungsstrategien in Kombination mit der numerischen Simulation dieser Abläufe. Da die FE-Simulation von Umformvorgängen in der Regel sehr zeitintensiv ist, bietet sich für die Optimierung solcher Prozesse der Einsatz deterministischer Methoden an, da hier weniger Optimierungsschritte und somit auch weniger FE-Simulationen notwendig sind. Eine wichtige Anforderung an solche Optimierungsverfahren ist globale Konvergenz zu lokalen Minima, da die optimalen Parametersätze nicht immer näherungsweise bekannt sind. Die zwei wichtigsten Strategien zum Ausdehnen des beschränkten Konvergenzradius der natürlichen Optimierungsverfahren (newtonschrittbasierte Verfahren und Gradientenverfahren) sind die Line-Search-Strategie und die Trust-Region-Strategie. Die Grundlagen der Line-Search-Strategie werden aufgearbeitet und die wichtigsten Teilalgorithmen implementiert. Danach wird dieses Verfahren auf eine effiziente Kombination der Teilalgorithmen und Verfahrensparameter hin untersucht. Im Anschluss wird die Leistung eines Optimierungsverfahrens mit Line-Search-Strategie verglichen mit der eines ebenfalls implementierten Optimierungsverfahrens mit skalierter Trust-Region-Strategie. Die Tests werden nach Einfügen der implementierten Verfahren in das Programm SPC-Opt anhand der Lösung eines Quadratmittelproblems aus der Materialparameteridentifikation sowie der Formoptimierung eines Umformwerkzeugs vorgenommen.

A numerical treatment of non-linear higher-order geometric evolution equations with the level set and the finite element method is presented. The isotropic, weak anisotropic and strong anisotropic situation is discussed. Most of the equations considered in this work arise from the field of thin film growth. A short introduction to the subject is given. Four different models are discussed: mean curvature flow, surface diffusion, a kinetic model, which combines the effects of mean curvature flow and surface diffusion and includes a further kinetic component, and an adatom model, which incorporates in addition free adatoms. As an introduction to the numerical schemes, first the isotropic and weak anisotropic situation is considered. Then strong anisotropies (non-convex anisotropies) are used to simulate the phenomena of faceting and coarsening. The experimentally observed effect of corner and edge roundings is reached in the simulation through the regularization of the strong anisotropy with a higher-order curvature term. The curvature regularization leads to an increase by two in the order of the equations, which results in highly non-linear equations of up to 6th order. For the numerical solution, the equations are transformed into systems of second order equations, which are solved with a Schur complement approach. The adatom model constitutes a diffusion equation on a moving surface. An operator splitting approach is used for the numerical solution. In difference to other works, which restrict to the isotropic situation, also the anisotropic situation is discussed and solved numerically. Furthermore, a treatment of geometric evolution equations on implicitly given curved surfaces with the level set method is given. In particular, the numerical solution of surface diffusion on curved surfaces is presented. The equations are discretized in space by standard linear finite elements. For the time discretization a semi-implicit discretization scheme is employed. The derivation of the numerical schemes is presented in detail, and numerous computational results are given for the 2D and 3D situation. To keep computational costs low, the finite element grid is adaptively refined near the moving curves and surfaces resp. A redistancing algorithm based on a local Hopf-Lax formula is used. The algorithm has been extended by the authors to the 3D case. A detailed description of the algorithm in 3D is presented in this work. / In der Arbeit geht es um die numerische Behandlung nicht-linearer geometrischer Evolutionsgleichungen höherer Ordnung mit Levelset- und Finite-Elemente-Verfahren. Der isotrope, schwach anisotrope und stark anisotrope Fall wird diskutiert. Die meisten in dieser Arbeit betrachteten Gleichungen entstammen dem Gebiet des Dünnschicht-Wachstums. Eine kurze Einführung in dieses Gebiet wird gegeben. Es werden vier verschiedene Modelle diskutiert: mittlerer Krümmungsfluss, Oberflächendiffusion, ein kinetisches Modell, welches die Effekte des mittleren Krümmungsflusses und der Oberflächendiffusion kombiniert und zusätzlich eine kinetische Komponente beinhaltet, und ein Adatom-Modell, welches außerdem freie Adatome berücksichtigt. Als Einführung in die numerischen Schemata, wird zuerst der isotrope und schwach anisotrope Fall betrachtet. Anschließend werden starke Anisotropien (nicht-konvexe Anisotropien) benutzt, um Facettierungs- und Vergröberungsphänomene zu simulieren. Der in Experimenten beobachtete Effekt der Ecken- und Kanten-Abrundung wird in der Simulation durch die Regularisierung der starken Anisotropie durch einen Krümmungsterm höherer Ordnung erreicht. Die Krümmungsregularisierung führt zu einer Erhöhung der Ordnung der Gleichung um zwei, was hochgradig nicht-lineare Gleichungen von bis zu sechster Ordnung ergibt. Für die numerische Lösung werden die Gleichungen auf Systeme zweiter Ordnungsgleichungen transformiert, welche mit einem Schurkomplement-Ansatz gelöst werden. Das Adatom-Modell bildet eine Diffusionsgleichung auf einer bewegten Fläche. Zur numerischen Lösung wird ein Operatorsplitting-Ansatz verwendet. Im Unterschied zu anderen Arbeiten, die sich auf den isotropen Fall beschränken, wird auch der anisotrope Fall diskutiert und numerisch gelöst. Außerdem werden geometrische Evolutionsgleichungen auf implizit gegebenen gekrümmten Flächen mit Levelset-Verfahren behandelt. Insbesondere wird die numerische Lösung von Oberflächendiffusion auf gekrümmten Flächen dargestellt. Die Gleichungen werden im Ort mit linearen Standard-Finiten-Elementen diskretisiert. Als Zeitdiskretisierung wird ein semi-implizites Diskretisierungsschema verwendet. Die Herleitung der numerischen Schemata wird detailliert dargestellt, und zahlreiche numerische Ergebnisse für den 2D und 3D Fall sind gegeben. Um den Rechenaufwand gering zu halten, wird das Finite-Elemente-Gitter adaptiv an den bewegten Kurven bzw. den bewegten Flächen verfeinert. Es wird ein Redistancing-Algorithmus basierend auf einer lokalen Hopf-Lax Formel benutzt. Der Algorithmus wurde von den Autoren auf den 3D Fall erweitert. In dieser Arbeit wird der Algorithmus für den 3D Fall detailliert beschrieben.

For adjoint calculations, parameter estimation, and similar purposes one may need to reverse the execution of a computer program. The simplest option is to record a complete execution log and then to read it backwards. This requires massive amounts of storage. Instead one may generate the execution log piecewise by restarting the ``forward'' calculation repeatedly from suitably placed checkpoints. This thesis extends the theoretical results of the parallel reversal schedules. First a algorithm was constructed which carries out the ``forward'' calculation and distributes checkpoints in a way, such that the reversal calculation can be started at any time. This approach provides adaptive parallel reversal schedules for simulations where the number of time steps is not known a-priori. The number of checkpoints and processors used is optimal at any time. Further, an algorithm was described which makes is possible to restart the initial computer program during the program reversal. Again, this can be done without any additional computation at any time. Hence, optimal parallel reversal schedules for the bidirectional simulation are provided by this thesis. / Bei der Berechnung von Adjungierten, zum Debuggen und für ähnliche Anwendungen kann man die Umkehr der entsprechenden Programmauswertung verwenden. Der einfachste Ansatz, nämlich das Erstellen einer kompletten Mitschrift der Vorwärtsrechnung, welche anschließend rückwärts gelesen wird, verursacht einen enormen Speicherplatzbedarf. Als Alternative dazu kann man die Mitschrift auch stückweise erzeugen, indem die Programmauswertung von passend gewählten Checkpoints wiederholt gestartet wird. In dieser Arbeit wird die Theorie der optimalen parallelen Umkehrschemata erweitert. Zum einen erfolgt die Konstruktion von adaptiven parallelen Umkehrschemata. Dafür wird ein Algorithmus beschrieben, der es durch die Nutzung von mehreren Prozessen ermöglicht, Checkpoints so zu verteilen, daß die Umkehrung des Programmes jederzeit ohne Zeitverlust erfolgen kann. Hierbei bleibt die Zahl der verwendeten Checkpoints und Prozesse innerhalb der bekannten Optimalitätsgrenzen. Zum anderen konnte für die adaptiven parallelen Umkehrschemata ein Algorithmus entwickelt werden, welcher ein Restart der eigentlichen Programmauswertung basierend auf der laufenden Programmumkehr erlaubt. Dieser Restart kann wieder jederzeit ohne Zeitverlust erfolgen und die entstehenden Checkpointverteilung erfüllen wieder sowohl Optimalitäts- als auch die Adaptivitätskriterien. Zusammenfassend wurden damit in dieser Arbeit Schemata konstruiert, die bidirektionale Simulationen ermöglichen.

The main result of this thesis is the generalization of the Kleene-theorem to formal tree-series over commutative semirings (the Kleene theorem states the coincidence between rational and recognizable formal languages). To this end weighted tree-languages are introduced and the Kleene-theorem is proved for them. The desired result for formal tree-series is then obtained through application of a homomorphism that relates weighted tree-languages with formal tree-series. In the second part of the thesis the connections to the theorie of Iteration-theories are discovered. In particular it is shown there that the grove-theory of formal tree-series forms a partial iteration-theory. / Hauptresultat dieser Arbeit ist die Verallgemeinerung des Satzes von Kleene über die Koinzidenz der rationalen und der erkennbaren Sprachen auf den Fall der formalen Baumreihen über kommutativen Semiringen. Zu diesem Zweck werden gewichtete Baumsprachen eingeführt, da sich diese ählich den klassischen Baumsprachen verhalten. Der Satz von Kleene wird also zunächst auf den Fall der gewichteten Baumsprachen verallgemeinert. Das erstrebte Resultat wird dann durch Anwendung eines Homomorphismus', der gewichteten Baumsprachen formle Baumreihen zuordnet, erhalten. Im zweiten Teil der Arbeit werden Kreuzverbindungen zur Theorie der Iterationstheorien aufgezeigt. Insbesondere wird z.B. gezeigt, dass die Grovetheorie der formalen Baumreihen eine partielle Iterationstheorie bildet.

In this thesis we see two new approaches to compose tree transducers and more general to fuse functional programs. The first abroach is based on initial algebras. We prove a new variant of the acid rain theorem for mutually recursive functions where the build function is substituted by a concrete functor. Moreover, we give a symmetric form (i.e. consumer and producer have the same syntactic form) of our new acid rain theorem where fusion is composition in a category and thus in particular associative. Applying this to compose top-down tree transducers yields the same result (on a syntactic level) as the classical top-down tree transducer composition. The second approach is based on free monads and monad transformers. In the same way as monoids are used in the theory of character string automata, we use monads in the theory of tree transducers. We generalize the notion of a tree transducer defining the monadic transducer, and we prove an according fusion theorem. Moreover, we prove that homomorphic monadic transducers are semantically equivalent. The latter makes it possible to compose syntactic classes of tree transducers (or particular functional programs) by simply composing endofunctors.

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