MASCARENHAS, Sebastião Pontes. A irracionalidade e transcendência dos números. 2017. 77 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-28T13:20:00Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 904841 bytes, checksum: a2a7ea7aa1e426a76fd5027662179d42 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Bom dia, Motivos da rejeição: Na capa o nome do curso deve ser Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional. Faltou a ficha catalográfica. Atenciosamente, Rocilda on 2017-07-28T13:58:59Z (GMT) / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-07-28T19:21:17Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 469506 bytes, checksum: b542e915b1564ae42c5160fee08ccedc (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-07-31T11:41:11Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 469506 bytes, checksum: b542e915b1564ae42c5160fee08ccedc (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-31T11:41:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_spmascarenhas.pdf: 469506 bytes, checksum: b542e915b1564ae42c5160fee08ccedc (MD5) Previous issue date: 2017 / This present work is an explanation orientated for the check of the irracionality of some real numbers, for the construction of some transcendents numbers (in especial, the Liouville´s numbers) and for the transcendency of , and anothers numbers. The understanding of the presents demonstrations in this work involves some basics knowledge in theory of numbers (divisibility, highest divisor common, number prime, etc), theory of conjunct (enumerate), Differential and Integral Calculation in a real variable, a few of functions of two variables e some facts about convergence of sequences and series. As a consequence, will be seen the solution of the old problem of the quadrature of a circle, that is, a possibility ou not of the construction with ruler and compass of a square, whose area be equal to area of a circle radius gived. / O presente trabalho é uma exposição voltada à verificação da irracionalidade de certos números reais, à construção de certos números transcendentes (em especial, os números de Liouville) e à transcendência de , e outros números. O entendimento das demonstrações presentes nesse trabalho envolve alguns conhecimentos básicos em teoria dos números (divisibilidade, máximo divisor comum, números primos, etc), teoria dos conjuntos (enumerabilidade), Cálculo Diferencial e Integral em uma variável real, um pouco de funções de duas variáveis e alguns fatos sobre convergência de sequências e séries. Como consequência, veremos a solução do antigo problema da quadratura de um círculo, isto é, a possibilidade ou não da construção com régua e compasso de um quadrado, cuja área equivale-se à área de um círculo de raio dado.

Made available in DSpace on 2016-04-01T17:54:40Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-08-28. Added 1 bitstream(s) on 2016-04-01T18:00:20Z : No. of bitstreams: 1 000860277.pdf: 1012693 bytes, checksum: a64995a4e274cfc4d8fe4457bd66529b (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho apresenta a construção formal do conjunto dos números racionais, a partir do conjunto dos números inteiros; desse modo, explicando o porquê de certos procedimentos e algoritmos usados no aprendizado dos números racionais. Apresenta também, alguns jogos que podem ser utilizados para abordar frações no que diz respeito a formas de representação, equivalência, operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) e comparação. Sendo assim, busca-se apresentar uma proposta de ensino das frações com o objetivo de fazer com que os alunos possam se engajar no aprendizado desse tópico / This work presents the formal construction of the rational numbers obtained from the set of the integers numbers, thus explaining why some procedures and algorithms are used in the learning of rational numbers. Also, some games that can be used in the classroom to teach representation forms, equivalence, operations (addition, subtraction, multiplication, division) and comparison of fractions. Thus, seeks to present a teaching proposal of the fractions in order to make with the students to can engage in learning this topic

Submitted by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2015-05-27T15:49:59Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 791381 bytes, checksum: 38dd57e91539c2f7bfdaf6d1092eff37 (MD5) / Approved for entry into archive by Leonardo Americo (leonardo@sti.ufpb.br) on 2015-05-27T17:33:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 791381 bytes, checksum: 38dd57e91539c2f7bfdaf6d1092eff37 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T17:33:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 791381 bytes, checksum: 38dd57e91539c2f7bfdaf6d1092eff37 (MD5) Previous issue date: 2013-08-13 / In this work we present the concept of cryptography, highlighting the differences between symmetric encryption and asymmetric encryption. We also show how RSA encryption works. Moreover, we study the main mathematical results that justify the operation of this cryptosystem and its security, such as: congruences, Euler's theorem, Fermat's Little Theorem, Wilson's Theorem, Euler's criterion for quadratic residues, Law of Quadratic Reciprocity and primality tests. / Neste trabalho apresentamos o conceito de criptografia, diferenciamos a criptogra fia simétrica da criptografia assimétrica e mostramos como funciona a criptografia RSA. Além disso, destacamos os principais resultados matemáticos que justificam o funcionamento desse criptossistema e sua segurança, tais como: congruências, Teorema de Euler, Pequeno Teorema de Fermat, Teorema de Wilson, Critério de Euler para resíduos quadráticos, Lei de Reciprocidade Quadrática e testes de primalidade.

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-29T16:07:28Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 945033 bytes, checksum: cab32f76c5a55b0c6400063ed6b40ff6 (MD5) / Approved for entry into archive by Fernando Souza (fernandoafsou@gmail.com) on 2017-08-29T16:11:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 945033 bytes, checksum: cab32f76c5a55b0c6400063ed6b40ff6 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-29T16:11:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 945033 bytes, checksum: cab32f76c5a55b0c6400063ed6b40ff6 (MD5) Previous issue date: 2015-08-25 / We introduce and de ne the p-adics integer numbers as a result of a search for solutions, for a congruences system that derives from a variable polynomial equation with rational coe cients. We evidence that the p-adic integers set is strictly larger than the integers. We present a criterion so that a rational that holds a correspondent in a p-adic integers set. We search for the possibility to represent irrational and complex numbers as p-adics integers. Algebraically, the p-adic integers set will be an integral domain and, from this, we search for the construction of p-adic integers quotient eld so that shall form the p-adic rationals eld, from a purely algebraically point of view. In the second part, we will expose the bases for the construction of a norm that's di erent from the usual, establishing so a new metric in the rational numbers set and the construction of a non-archimedian eld. / Apresentamos e de nimos os números inteiros p-ádicos como o resultado de uma busca por soluções, para um sistema de congruências, que parte de uma equação polinomial de uma variável, com coe cientes racionais. Constatamos que o conjunto dos inteiros p-ádicos é estritamente maior que os inteiros. Mostramos um critério para que um racional possua um correspondente num conjunto de inteiros p-ádicos. Buscamos a possibilidade de representarmos números irracionais e números complexos como inteiros p-ádicos. Algebricamente, o conjunto dos inteiros p-ádicos será um domínio de integridade e, partindo disto, buscamos a construção de um corpo de frações dos inteiros p-ádicos, que formarão, assim, o corpo dos racionais p-ádicos, de um ponto de vista puramente algébrico. Na segunda parte, vamos expor os fundamentos para a construção de uma norma diferente da habitual, estabelecendo assim uma nova métrica, no conjunto dos números racionais, e a construção de um corpo não-arquimediano.

Orientador: Erika Capelato / Banca: Renata Zotin Gomes de Oliveira / Banca: Camila Fernanda Bassetto / Resumo: O grande desafio no ensino da matemática, pelo menos no meu ponto de vista como professor nos últimos dez anos, é fazer com que os alunos percebam a importância e a praticidade da matemática em suas vidas. Isso vai além das teorias da Aritmética, Álgebra ou Geometria ensinadas na educação básica. Os alunos precisam perceber que os conceitos matemáticos são ferramentas que os ajudam a compreender o mundo a sua volta. Diante disto, esta dissertação busca apresentar conceitos matemáticos que levam à compreensão da Criptografia: conceitos da Teoria dos Números e da Álgebra. Fazemos ainda, um breve histórico sobre a Criptografia descrevendo a cifra de César e as cifras afins, o Sistema RSA e alguns métodos de troca de chaves. Relatamos alguns trabalhos desenvolvidos pelos estudantes do PROFMAT neste tema e apresentamos uma proposta de atividade para os estudantes do ensino básico. Esta atividade consiste na construção de um kit de encriptação e decriptação utilizando copos descartáveis. Com dinâmicas unindo elementos da Criptografia e o aplicativo Whatsapp, como meio de troca das mensagens criptografadas, motivamos a sala de aula para o aprendizado da Divisão Euclidiana e da Permutação. Além disso, pretendemos despertar nos alunos o interesse em aprofundar-se nos estudos da Matemática, principalmente na Teoria dos Números, já que esta é uma das ferramentas fundamentais no contexto da Criptografia, uma ciência com grande aplicabilidade na atualidade / Abstract: The great challenge in teaching mathematics, at least in my point of view as a teacher in the past ten years is to make students understand the importance and practicality of mathematics in their lives. This goes beyond the theories of arithmetic, algebra or geometry taught in basic education. Students need to realize that mathematical concepts are tools that help them understand the world around them. In view of this, this dissertation aims to present mathematical concepts that lead to understanding of cryptography: concepts of number theory and algebra. We also a brief history on the Encryption describing the Caesar cipher and related figures, the RSA system and some methods of key exchange. We report some work done by students PROFMAT this theme and present a proposal activity for students of basic education. This activity consists in building a kit of encryption and decryption using disposable cups. With dynamic linking elements Encryption and Whatsapp application as a means of exchange of encrypted messages, we motivate the classroom for learning Euclidean division and permutation. In addition, we intend to arouse students' interest in deepening the study of mathematics, especially in Number Theory, as this is one of the fundamental tools in the context of cryptography, a science with great applicability today / Mestre

Orientador: José Carlos Rodrigues / Coorientador: Marco Antônio Piteri / Banca: Aylton Pagamisse / Banca: Vera Lúcia Carbone / Resumo: Os tradicionais jogos de baralho são excelentes para se aplicar diversos conceitos matemáticos. A lógica matemática, a análise combinatória e a probabilidade são a base das regras que geram a competitividade desses jogos. Além disso, diversos jogos baseiam-se em cálculos, como é o caso da Escopa e do Black Jack, este último já muito estudado por se tratar de um jogo amplamente usado em casas de apostas. Pelo fato de estar muito associado a vícios e até à contravenção, o baralho não vem sendo usado como ferramenta no ensino de matemática. O objetivo desse trabalho é adaptar o jogo de escopa para uso didático, colaborando com o cálculo mental da soma de números inteiros, suas propriedades operatórias, o conceito do elemento neutro e de números opostos / Abstract: The traditional card games are excellent when applying several mathematical concepts. Mathematical logic, combinatorial analysis and probability are the foundations of the rules that create the competitiveness in those games. Furthermore, many games such as Scopa and Black Jack rely on calculations, but the latter has already been widely studied because it is a distinguishing game in gambling houses. However, since those games are related to compulsiveness and even to legal offenses, the card deck has not been used as a tool in the teaching of Mathematics. Thus, this paper is aimed to adapt Scopa to didactic use, fostering mental calculation of the sum of integers, and the teaching of the properties of the operations, and the concept of identity element and additive inverse / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-01-28Bitstream added on 2014-06-13T19:25:46Z : No. of bitstreams: 1 marchiori_rm_me_rcla.pdf: 441197 bytes, checksum: dfc9ce6e00b97ad657ecd6859c6787a4 (MD5) / Tudo é número, diria o famoso matemático grego Pitágoras. Os números estão a nossa volta, como o oxigênio que respiramos. Primeiro vieram os naturais, depois os inteiros, os racionais e os incríveis irracionais, que deixaram os pitagóricos tão perplexos a ponto de escondê-los. Números primos, perfeitos e outros vieram. E quando tudo parecia ser real apareceram os imaginários. Que imaginação tem esses matemáticos! Vamos nos aprofundar em um grupo intrigante de números chamados transcendentes e aos números estudados por um matemático francês chamado Liouville / All is number, say the famous Greek mathematician Pythagoras. The numbers are all around us, like the oxygen we breathe. First came the natural, then the integers, the rational and the irrational incredible that left perplexed the Pythagoreans so as to hide them. Prime numbers, perfect and others came. And when everything seemed to be real the imaginary appeared. What have these mathematical imagination! Let's delve in a group of intriguing numbers called transcendental numbers and studied by a French mathematician named Liouville

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T04:41:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carlos_TatianaBertoldi_D.pdf: 779190 bytes, checksum: d0ff8f53ff44a5f19c7edb1427cd1a82 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Neste trabalho abordamos a construção de reticulados usando propriedades da teoria dos números algébricos. Enfocamos particularmente a construção, como reticulado ideal, de rotações do reticulado n-dimensional dos inteiros, usando corpos ciclotômicos. Reticulados desta forma tem se mostrado uma eficiente ferramenta para obtenção de bons esquemas de codificação para canais com desvanecimento, pois permitem estimativas da distância produto e diversidade, parâmetros que controlam a probabilidade de erro no envio de informações por estes canais. Apresentamos uma nova construção de tais reticulados no caso em que n é uma potência de 2, através do subcorpo maximal real do n-ésimo corpo ciclotômico. Estabelecemos também condições para que um reticulado ideal seja rotação do reticulado n-dimensional dos inteiros, usando algoritmos de redução de base, LLL (Lenstra-Lenstra- Lovász) e Minkowski. Outros resultados incluem caracterizações geométricas de grafos circulantes e de alguns reticulados construídos algebricamente. / Abstract: In this work we approach lattice constructions using properties of algebraic number theory. One focus is on the construction of ideal lattices via cyclotomic fields. Those lattices have been used as an efficient tool for designing coding strategies for the Rayleigh fading channels since it is possible to estimate the product distance and the diversity, parameters which control the error probability transmission for those channels. A special case, due to "shaping gain", is when those lattices are rotations of the n-dimensional integer lattice. We present a new construction of such lattices when n is a power of 2, via the maximal sub-field of the n-cyclotomic field. We also establish conditions for an ideal lattice to be a Zn-lattice using the Minkowski and the LLL (Lenstra-Lenstra-Lovasz) reductions. Other results include geometric characterizations of circulant graphs and of some algebraic lattices. / Doutorado / Doutor em Matemática

Orientador: Martinho da Costa Araujo / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T09:34:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Souza_VeraLuciaGracianide_M.pdf: 1138543 bytes, checksum: 893a12834a41de0bedf2e0e1c71a3fc1 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho tem por objetivo fatorar número inteiro utilizando pontos racionais sobre o círculo unitário. Igualmente pretende determinar alguns grupos sobre cônicas. A pesquisa inicia com os conceitos básicos de Álgebra e Teoria dos Números, que fundamentam que o conjunto de pontos racionais sobre o círculo unitário tem uma estrutura de grupo. Desse conjunto é possível estender a idéia de grupo de pontos racionais sobre o círculo para pontos racionais sobre cônicas. Para encontrar os pontos racionais sobre o círculo foi usada uma parametrização do círculo por funções trigonométricas. Para cada ponto sobre o círculo unitário está associado um ângulo com o eixo positivo das abscissas, portanto adicionar pontos sobre o círculo equivale adicionar seus ângulos correspondentes. Com a operação "adição" de pontos sobre o círculo é possível definir uma estrutura de grupo que é utilizada para fatorar números inteiros. Para a cônica, a operação "adição" é determinada algebricamente ao calcular o coeficiente angular da reta que passa por dois pontos dados e o elemento neutro dessa cônica, também justificada geometricamente. No trabalho foram determinados os grupos de pontos racionais sobre cônicas e demonstrado alguns resultados sobre esses grupos usando os resíduos quadráticos e finalizando com a dedução de alguns resultados sobre a soma das coordenadas dos pontos sobre uma cônica. / Abstract: The objective of this paper is to factorize integer number using rational points on the unitary circle. Also, it intends to determinate some groups on the conics. The research begins with the basic concepts of Algebra and Number Theory ensuring that the rational points set on the unitary circle has a structure of group. From this set is possible to extend the idea of rational points on the circle toward rational points on conics. In order to find the rational points on the circle a parametrization by trigonometric function on it was used. For each point on the unitary circle it is associated an angle with abscissa positive axis, therefore adding points on the circle equals to add its corresponding angles. With the operation of "addition" points on the circle it is possible to define a group structure that is used to factorize integer numbers. For the conic, the "addition" operation is algebraically determinated when the angle coeficient of the line is calculated that joins two given points and the neutral element of that conic, which is geometrically justified. In the research the rational points groups on the conics were determined, and some result on these groups using quadratic residues were demonstrated, and it was finalized with the deduction of some results concerning the coordinates sum of points on a conics. / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador: Emerson Alexandre de Oliveira Lima / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T21:19:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_FilardesdeJesusFreitasda_M.pdf: 678989 bytes, checksum: 49b0b13ce88d8aa64141c17e237d85fe (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Neste trabalho focalizamos os principais conceitos da teoria elementar dos números objetivando uma melhor compreensão das Equações Diofantinas Clássicas e suas aplicações e para isto explicitamos os conceitos de Números primos, Algoritmo de Euclides, Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum, assim como a teoria das Congruências, uma abordagem sobre a Criptografica RSA e Soma de Inteiros. Palavras-Chave: Congruências Lineares, Soma de Inteiros, Equação de Fermat, Soma de Quadrados / Abstract: In this work we focus the main concepts of the elementary theory of numbers seeking a better understanding of Classical diophantine equations and their applications for this and explained the concepts of prime numbers, algorithms of Euclid, maximum common divisor and least common multiple and the theory of congruence , an approach on the RSA encryption and Sum of Integers. Keywords: Linear congruence, Sum of Integers, equation of Fermat, Sum of Squares / Mestrado / Teoria dos Numeros / Mestre em Matemática