<p>Syftet med den här studien är att undersöka undervisning och lärande av lärandeobjektet, bråk med olika nämnare, i årskurs 4, årskurs 6 och årskurs 9. Då specifikt jämförelsen av bråk med olika nämnare och addition med hjälp av gemensam nämnare. Studien avser att söka vad som är kritiskt för att kunna lära sig detta.</p><p> </p><p>Vi genomförde en learning study som är en typ av aktionsforskning där studien genomförs i klassrumsmiljö och fokus ligger på vad eleverna ges möjlighet att lära sig. Vanligtvis genomförs en learning study i tre cykler där undervisningen gradvis förbättras mellan cyklerna. Vår första cykel genomfördes i årskurs fyra, den andra cykeln i årskurs sex och den sista och avslutande cykeln i årskurs nio. Lektionen i årskurs fyra var en introduktion till bråk där fokus låg på nämnarens funktion. Lektionerna i årskurs sex och nio fokuserade till stor del på addition av bråk med olika nämnare. Processen i varje cykel började med ett förtest som sedan följdes upp med en planerad lektion utifrån utfallet, lektionen i sin tur videofilmades utifrån det iscensatta lärandeobjektet, och som sista del tog vi reda på det erfarna lärandeobjektet med hjälp av eftertest. Materialet (förtest, lektion och eftertest) från de tre lektionerna analyserades därefter och jämfördes för att få fram kritiska aspekter vid inlärning av bråk med olika nämnare.</p><p> </p><p>Resultatet indikerar att de kritiska aspekterna för elever i årskurs fyra är innebörden av täljare och nämnare samt relationen mellan dem. Denna kritiska aspekt lyckades vi komma åt under lektionen. I de senare cyklerna visar resultatet att den viktigaste kritiska aspekten är relationen mellan täljare och nämnare och insikten att de står i proportionalitet till varandra, dessa aspekter kom vi endast till viss del åt under lektionerna i årskurs sex och årskurs nio. I vissa fall försämrades deras förståelse efter lektionerna. Eleverna i årskurs sex och årskurs nio uppvisade samma svårigheter och vi kan inte påvisa någon förbättring mellan årskurserna; eleverna i årskurs sex och nio låg på samma nivå kunskapsmässigt då det gäller bråk med olika nämnare.</p> / <p>The aim of this study is to investigate the teaching and learning of fractions with different denominators as an object of learning in grade 4, 6 and 9. We concentrate more specifically on the comparison of fractions with different denominators as well as performing additions through transformation to a common denominator. Moreover, the study aims at finding out what is critical in order to learn this.</p><p> </p><p>We carried out a learning study, which is a kind of action research where the study is carried out in the classroom environment and where focus is on what the pupils is given the opportunity to learn. Moreover, a learning study is normally conducted in three cycles where the aim is to improve teaching during and between the different cycles. Our first cycle was conducted in grade four, the second cycle in grade six and the final and concluding one in grade nine. The lesson in grade four served as an introduction to fractions since the pupils were unfamiliar with the concept of fractions, yet the focus was on the function of the denominator, whereas the focus of the lessons in grade six and grade nine was on performing addition of fractions with different denominators. The process in each of the cycles in the learning study began with a pretest. The lesson was then planned according to the assumed critical aspects shown in the pretest before carried out. Each lesson was videotaped, and followed by a posttest about a week after the lesson. The material (pre-tests, lessons, and post-tests) from the three cycles were analyzed and thereafter also compared in order to find and compare critical aspects when it comes to the learning of fractions with different denominators.</p><p> </p><p>The result indicates that the critical aspects for pupils in grade four were the meaning of the denominator and the numerator and their relationship. These aspects were targeted in the lesson and the pupils’ understanding of this was improved after the lesson. Moreover, the result implies that the most important critical aspect in grade six, as well as in grade nine, appears to be to understand the proportional relationship between the denominator and the numerator. This aspect was targeted at the respective lessons, yet the pupils only showed little or even no better understanding after the lessons, and in some cases their understanding even became impaired. It appears as if the pupils in grade six and grade nine have the same difficulties when dealing with fractions with unequal denominators, and moreover they were on the same level when dealing with the fractions.</p>

Syftet med den föreliggande undersökningen är att få kunskap om hur undervisning kan förbättra elevers lärande vad det gäller elevers historiemedvetande. Metoden som under- sökningen använde sig av är en learning study, ett kollektivt samarbete mellan historielärare som riktar fokus på elevers lärande. Genom utvärderingen av det samlade datamaterialet besvarades undersökningens frågeställningar Vilka är de kritiska aspekterna för att elever i årskurs 8 ska kunna utveckla en högre grad av historiemedvetande, och Vilka centrala punkter i undervisningens upplägg gör positiv skillnad för elevers lärande? Resultatet visar att de deltagande pedagogerna identifierade tre kritiska aspekter som anses vara avgörande för en undervisning med målet att utveckla elevers historiemedvetande: 1. Eleverna behöver integreras i undervisningen som deltagande berättare. 2. Undervisning behöver skapa en meningsfull förbindelse mellan elevers vardag, de historiska händelserna och elevers föreställning om framtiden. 3. Undervisning behöver involvera elevers närmiljö, såsom den lokala historien eller elevers egen släkthistoria. När det gäller undersökningens andra frågeställning, visar resultatdelen att pedagogerna identifierade två centrala punkter i undervisningen som skulle kunna göra positiv skillnad för elevers lärande: Undervisningen som genomförs på ett varierat sätt skapar intresse bland eleverna. Detta anses som grundförutsättning för all lärande. Dessutom höjer en inkludering av elevers närmiljö elevers förståelse för ämnet genom att relatera abstrakta händelser till elevers vardag. / The purpose of this study is to gain knowledge of how teaching can improve pupils’ understanding of historical consciousness. The theoretical method that is used in this study is a learning study, which is the mutual co-operation of history teachers with the focus on pupils’ learning. An evaluation of the collected data answers the following questions used in this study: Which teachings are critical for pupils’ in grade 8 to improve their historical consciousness and Which main aspects in teaching situations can create a positive difference to pupils’ learning? This study shows that the participating teachers identified three critical aspects which are key for an education with the focus of improving historical consciousness: 1. Pupils have to be involved in teaching situations as participating narrators. 2. Teaching situations have to create a meaningful connection between pupils’ everyday reality, historical events and pupils’ imagination of the future. 3. Teaching situations have to involve pupils’ own living environment, for example local history or the history of pupils’ own relatives. If it comes to the second question the study shows that the teachers identified two main aspects in teaching situations which can create a positive difference to pupils’ learning: Teaching situations that are performed in a varied way generate more interest among pupils.This is regarded as essential for all forms of learning. Furthermore, an inclusion of the pupils’ own living environment enhances the pupils’ understanding for the topic because abstract events then relate to the pupils’ life.

This article is intended to contribute to greater knowledge regarding the importance offlow and the time used to perform an activity, with a focus on students’ mathematicalexperiences of 3D bodies. Thirty-one 9th-grade students took part in the study. Flow andvariation theory was used in the analysis of lesson observations, submission tasks, audiorecordings, logbooks, tests and nationwide tests. The results indicate that the selectedmathematics problem is characterised by seven components, which serve as the basis foridentifying intended critical aspects; a variation is evident in the balance between skillsand challenges that is characterised by the critical aspects that the students discern; avariation is evident in the experience of flow that is dependent upon the students’approach to their work on various activities; the students’ mathematical experiences arebased, both short- and long-term, on discerned critical aspects and on the time spent onthe activity that generates flow. Theoretical contributions as well as implications forteaching are presented at the end of the article.

Vilka svårigheter blir synliga när eleverna ska lära sig den analoga klockan? Genom en learning study undersöker den här studien vilka kritiska aspekter som går att urskilja. De kritiska aspekterna har definierats utifrån tidigare forskning samt genom intervjustudier med en matematiklärare i åk 4. Utifrån variationsteorins centrala begrepp har studien byggt en lektionsserie på tre lektioner som utgår från att låta eleverna få syn på de kritiska aspekterna. Studien visar att eleverna har svårt att se hur den analoga klockan är uppbyggd och att den analoga klockan har sin grund i en annan talbas än 10-bas, den sexagiesmala talbasen. Lektionserien genomförs i två klasser i årskurs 4. Lektionsserien föregås av en kunskapstest och samma test genomförs efter avslutande lektioner.  Resultatet visar att när undervisningen låter eleverna få syn på de kritiska aspekterna förbättras elevernas förmåga att kunna förstå och avläsa den analoga klockan. Eleverna förbättrade sin förmåga att dela upp klockans sexio minuter i olika stora delar med korrekt antal minuter i varje del. De visade också förbättrad förståelse för de olika visarnas funktion och visade på ökad förståelse relationen mellan timvisaren och minutvisaren. De förbättrade också förmågan att skilja på när den analoga klockan är “i” och “över”. / Vilka svårigheter blir synliga när eleverna ska lära sig den analoga klockan? Genom en learning study undersöker den här studien vilka kritiska aspekter som går att urskilja. De kritiska aspekterna har definierats utifrån tidigare forskning samt genom intervjustudier med en matematiklärare i åk 4. Utifrån variationsteorins centrala begrepp har studien byggt en lektionsserie på tre lektioner som utgår från att låta eleverna få syn på de kritiska aspekterna. Studien visar att eleverna har svårt att se hur den analoga klockan är uppbyggd och att den analoga klockan har sin grund i en annan talbas än 10-bas, den sexagiesmala talbasen. Lektionserien genomförs i två klasser i årskurs 4. Lektionsserien föregås av en kunskapstest och samma test genomförs efter avslutande lektioner.  Resultatet visar att när undervisningen låter eleverna få syn på de kritiska aspekterna förbättras elevernas förmåga att kunna förstå och avläsa den analoga klockan. Eleverna förbättrade sin förmåga att dela upp klockans sexio minuter i olika stora delar med korrekt antal minuter i varje del. De visade också förbättrad förståelse för de olika visarnas funktion och visade på ökad förståelse relationen mellan timvisaren och minutvisaren. De förbättrade också förmågan att skilja på när den analoga klockan är “i” och “över”. / What difficulties become visible when students have to learn the analog clock? Through a learning study, this study examines which critical aspects can be distinguished. The critical aspects have been defined based on previous research and through interview studies with two mathematics teachers in year 4. Based on the central concept of variation theory, the study has built a lesson series of three lessons based on letting the critical aspect become visible to the students. The study shows that the students have difficulties understanding how the analog clock is structured and that the analog clock is based on the sexagiesmal base rather than the decimal. The lesson series is carried out in two classes in year 4. The lesson series is preceded by a knowledge test and the same test is carried out after the final lessons. The results show that when we allow the students to become aware of the critical aspects, the students' ability to understand and read the analog clock is improved. The results show that when the teaching allows the students to see the critical aspects, the students' ability to understand and read the analog clock is improved. The students improved their ability to divide the sixty minutes of the clock into different parts with the correct number of minutes in each part. They also showed an improved understanding of the function of the various hands and showed an increased understanding of the relationship between the hour hand and the minute hand. They also improved the ability to distinguish when the analog clock is "to” and "past".

I årskurserna 4–6 ska eleverna genomgå en progression att lära sig hur rationella tal och tal i decimalform är uppbyggda. Forskning har visat att det kan uppstå flera svårigheter och missuppfattningar kring området, bland annat veta siffrors olika platsvärde. Denna studie har inspirerats av en tidigare studie, genomförd av Jarl och Johansson (2014). Syftet med denna studie är att jämföra om samma kritiska aspekter som identifierats i Jarl och Johansson (2014) studie även visar sig i andra elevgrupper. Frågeställningen som studien ska besvara är: Vilka kritiska aspekter kan identifieras i en årskurs 4 och en årskurs 5 kring tal i decimalform? För att kunna besvara frågeställningen har eleverna i denna studie fått genomföra ett arbetsblad med uppgifter kopplade till tal i decimalform. Därefter har kvalitativa intervjuer genomförts för att få en breddad insikt kring vilka kritiska aspekter eleverna har eller inte har urskilt. Metodvalet i studien har inslag av variationsteorin där eleverna behöver få syn på nödvändiga detaljer (i studien benämnd som kritiska aspekter). Studiens resultat visar att samtliga kritiska aspekter som identifierades i Jarl och Johanssons (2014) studie, även var kritiska i denna studie. Däremot identifierades en ny kritisk aspekt: Elever behöver förstå att siffror på varsin sida om decimaltecknet tillsammans utgör ett tal. Kunskaper om kritiska aspekter kan ses som specialkunskaper för lärare att veta vad som kan missuppfattas kring det matematiska området. Dessa kunskaper kan inte generaliseras, men de kan vara överförbara att en kritisk aspekt kan identifieras i andra elevgrupper. / In grades 4–6, students must undergo a progression to learn how rational numbers and numbers in decimal form are structured. Research has shown that there can be several difficulties and misconceptions about the area, including knowing the different place value of numbers. This study has been inspired by a previous study, conducted by Jarl and Johansson (2014). The aim of this study is to compare whether the same critical aspects identified in Jarl and Johansson (2014) studies also show up in other student groups. The subject of interest in this study was: What critical aspects can be identified in a grade 4 and a grade 5 around numbers in decimal form? In order to be able to answer the question, the students in this study have had to complete a worksheet with tasks linked to numbers in decimal form. Thereafter, qualitative interviews were conducted to gain a broader insight into what critical aspects the students have or have not distinguished. The choice of method in the study has elements of the theory of variation where the students need to see the necessary details (in the study called critical aspects). The results of the study show that all critical aspects that were identified in Jarl and Johansson's (2014) study were also critical in this study. However, a new critical aspect was identified: Students need to understand that numbers on each side of the decimal point together must become a number. Knowledge of critical aspects can be seen as special knowledge for teachers to know what can be misunderstood about the mathematical field. This knowledge cannot generalize, but it can be transferable so that a critical aspect can be identified in other student groups.

Majoriteten av elever saknar idag förståelsen för hur de ska addera bråktal med hjälp av varierande metoder trots flera års undervisning i bråkaritmetik. Studien syftar till att generera en fördjupad förståelse av de tidigare identifierade kritiska aspekter som årskurs 4 elever möter vid additionsberäkningar av tal i bråkform. Studien har två huvudsakliga frågeställningar: 1) Hur synliggörs tidigare identifierade kritiska aspekter inom additionsberäkningar med tal i bråkform i årskurs 4 elevers lösningar och resonemang? 2) Vilka kritiska aspekter framkommer i elevers lösningar med numeriska och bildliga representationsformer?  Studien omfattar en kombination av kvantitativa och kvalitativa metoder där inslag av variationsteorin integrerades. De tillämpade metoderna innefattar användning av arbetsblad samt genomförande av semi-strukturerade intervjuer. Totalt deltog 35 elever i undersökningen, varav 6 elever valdes ut för intervju. Resultaten av studien identifierade tre kritiska aspekter. Kritisk aspekt 1: Att urskilja hur additionsberäkning med tal i bråkform fungerar i jämförelse med hur heltal beräknas. Kritisk aspekt 2: Att urskilja hur additionsberäkning, med tal i bråkform, utförs med olika nämnare. Kritisk aspekt 3: Att urskilja hur additionsberäkning utförs med hjälp av representation av tal i bråkform som en del av en helhet. Dessa kritiska aspekter som framkommit i tidigare forskning bekräftar och stödjer resultaten från studien. / Most pupils today lack understanding of how to add fractions of how to add fractions using various methods, despite several years of instruction in fraction arithmetic. The study aims to generate a deeper understanding of the previously identified critical aspects encountered by fourth-grade pupils in addition calculations involving fractions. The study has two main research questions: 1) How are the preciously identified critical aspects manifested in fourth-grade pupils’ solutions and reasoning regarding addition calculations with fraction? 2) Which critical aspects emerge in pupils’ solutions using numerical and visual representations?  The study employs a combination of quantitative and qualitative methods, integrating elements of variation theory. The applied methods include the use of worksheet and conducting semi-structured interviews. A total of 35 pupils participated in the investigation, with 6 pupils selected for interviews. The results of the study identified three critical aspects. Critical aspect 1: Discerning how addition calculations with fractions differ from those involving whole numbers. Critical aspect 2:  Discerning how addition calculations with fractions are preformed when the denominators are different. Critical aspect 3: Discerning how addition calculations are carried out using representations of fractions as parts of a whole. These critical aspects, which have been highlighted in previous studies, confirm, and support the results of the study.

Utifrån arbetsmodellen Learning study, med variationsteorin som utgångspunkt har forskning genomförts i två klasser i Sverige med syftet att försöka identifiera kritiska aspekterna för elever i årskurs nio inom ämnesområdet det vita ljuset och dess färgspektrum. Studien är en vidareutveckling av en tidigare genomförd studie i Hong Kong och har därför även haft till syfte att undersöka om de identifierade kritiska aspekterna är generaliserbara från en skolkontext till en annan kontext. Den svenska skolan styrs nationellt utifrån styrdokument, skollag, läroplan och kursplan för skolämnet och läraren har även riktlinjer för att få en yrkesetisk förankring. Dessa delar är viktiga att läraren tar i beaktning inför planering av undervisningen. Elevernas bakgrund och förkunskaper i ämnet är av stor vikt för läraren att ta hänsyn till för att de ska kunna ta till sig undervisningen om det som läraren har tänkt att de ska lära sig. I denna studie kunde åtta kritiska aspekter identifieras i de två klasser som undersökningen genomfördes i. Fem av de kritiska aspekterna var redan identifierade i Hong Kong. Slutsatsen är att de kritiska aspekter som identifierats i en kontext också är giltiga i en annan. Som helhet fick forskarna insikten om att Learning study som arbetsmodell och variationsteorin som vägledande princip vid planering av undervisning, kan leda till ett rikare lärande både för eleverna, men även för lärarna som deltar i forskningen. / The Swedish school system is governed on the basis of national policy documents; school law, curriculum and the syllabus for the school subject. The teacher also have guidelines to follow to get a professional ethical foundation and needs to take this and the students' backgrounds and prior knowledge of the subject into account before planning a lesson. How can this be done with one model? This study shows how a Learning study can be used together with the theory of variation as a guideline to richer the learning for pupils in the ninth grade, in two Swedish classes. One of the intentions of this study was to try to identify critical aspects about the learning object: the colour of light. This study is a refinement of a previous study done in Hong Kong and has also been designed to examine if critical aspects can be transferred from one school context to another context. In this study eight critical aspects where identified in the two classes that the survey was conducted in. Five of them where already identified in the study from Hong Kong. The conclusion is that critical aspects are generalized, not only between classes in Sweden, but also between different countries, even if it is from a third grade in Hong Kong to a ninth grade in Sweden. Learning study, as a model, and the theory of variation, as a guiding principle, can lead to a richer learning both for the pupils, but also for the teachers that participate in the research.

<p>Utifrån arbetsmodellen Learning study, med variationsteorin som utgångspunkt har forskning genomförts i två klasser i Sverige med syftet att försöka identifiera kritiska aspekterna för elever i årskurs nio inom ämnesområdet det vita ljuset och dess färgspektrum. Studien är en vidareutveckling av en tidigare genomförd studie i Hong Kong och har därför även haft till syfte att undersöka om de identifierade kritiska aspekterna är generaliserbara från en skolkontext till en annan kontext.</p><p>Den svenska skolan styrs nationellt utifrån styrdokument, skollag, läroplan och kursplan för skolämnet och läraren har även riktlinjer för att få en yrkesetisk förankring. Dessa delar är viktiga att läraren tar i beaktning inför planering av undervisningen. Elevernas bakgrund och förkunskaper i ämnet är av stor vikt för läraren att ta hänsyn till för att de ska kunna ta till sig undervisningen om det som läraren har tänkt att de ska lära sig.</p><p>I denna studie kunde åtta kritiska aspekter identifieras i de två klasser som undersökningen genomfördes i. Fem av de kritiska aspekterna var redan identifierade i Hong Kong. Slutsatsen är att de kritiska aspekter som identifierats i en kontext också är giltiga i en annan. Som helhet fick forskarna insikten om att Learning study som arbetsmodell och variationsteorin som vägledande princip vid planering av undervisning, kan leda till ett rikare lärande både för eleverna, men även för lärarna som deltar i forskningen.</p> / <p>The Swedish school system is governed on the basis of national policy documents; school law, curriculum and the syllabus for the school subject. The teacher also have guidelines to follow to get a professional ethical foundation and needs to take this and the students' backgrounds and prior knowledge of the subject into account before planning a lesson. How can this be done with one model?</p><p>This study shows how a Learning study can be used together with the theory of variation as a guideline to richer the learning for pupils in the ninth grade, in two Swedish classes. One of the intentions of this study was to try to identify critical aspects about the learning object: the colour of light. This study is a refinement of a previous study done in Hong Kong and has also been designed to examine if critical aspects can be transferred from one school context to another context.</p><p>In this study eight critical aspects where identified in the two classes that the survey was conducted in. Five of them where already identified in the study from Hong Kong. The conclusion is that critical aspects are generalized, not only between classes in Sweden, but also between different countries, even if it is from a third grade in Hong Kong to a ninth grade in Sweden. Learning study, as a model, and the theory of variation, as a guiding principle, can lead to a richer learning both for the pupils, but also for the teachers that participate in the research.</p>

Syftet med denna studie var att utforska hur elever i årskurs 5 utvecklar naturvetenskapliga kunskaper om hur gräs omvandlas till mjölk, där särskilt fokus läggs på sambandet mellan fotosyntes och idisslande djurs matspjälkningssystem. Studiens frågeställningar var följande: Vilka naturvetenskapliga kritiska aspekter behöver elever i årskurs 5 få möjlighet att urskilja för att förstå hur gräs kan omvandlas till mjölk. Hur kan undervisning organiseras för att elever i årskurs 5 ska förstå hur gräs kan omvandlas till mjölk? Denna studie är kvalitativ och har en variationsteoretisk och sociokulturell utgångspunkt. Dessa två teorier presenterar vad undervisningen måste handla om för att skapa bästa förutsättningar till lärande. I denna studie har variationsteorin utgångspunkt i lärandeobjektet, vilka variationsmönster som erbjudits i undervisningen samt de kritiska aspekterna av hur gräs omvandlas till mjölk. Det sociokulturella perspektivet har i denna studie bland annat fokuserat på samspelet mellan eleverna, användning av artefakter och den proximala utvecklingszonen. Resultatet i studien visar att med hjälp av en variationsteoretisk utgångspunkt går det att främja elevers lärande i de naturorienterande ämnen och skapa en variation som bidrar till att elever utvecklar naturvetenskapliga kunskaper om hur gräs omvandlas till mjölk.

Syftet med licentiatuppsatsen är att bidra med kunskap om vilka aspekter som kan vara nödvändiga för elever att urskilja för att identifiera och analysera en del-helhetsstruktur och i förlängningen bemästra ekvationer. I forskningsprojektet medverkade lärare och forskare i ett kollaborativt och intervenerande arbete. Elever i årskurserna 3, 8 och 9 deltog i semistrukturerade intervjuer och forskningslektioner för att producera data. Forskningslektionerna genomfördes med learning study som forskningsansats, vilken erbjuder iterativa processer. De teoretiska ramverken utgjordes av fenomenografi, variationsteori och lärandeverksamhet. Ansatsen fenomenografi utgjorde ett analysverktyg när intervjuerna analyserades. Variationsteori och lärandeverksamhet utgjorde kompletterande ramverk när forskningslektioner designades och analyserades. Resultatet i Artikel 1 påvisar en kritisk aspekt, vilken formulerades som: två kvantiteter tillsammans (två delar) bildar en tredje kvantitet (en helhet) med samma ”värde” som de två delarna tillsammans. Resultatet i Artikel 2 påvisar fem kritiska aspekter, vilka formulerades som (1) det är en relation mellan alla tal i en ekvation, (2) två delar tillsammans är ekvivalenta med en helhet med samma värde, (3) vad som utgör en helhet respektive delar, (4) samma relation kan formuleras på fyra olika sätt och (5) helheten kan anta ett lägre värde än delarna. En slutsats är att det kan vara en fördel redan för unga elever att delta i undervisning med utgångspunkt i early algebra och lärandeverksamhet där generella matematiska strukturer fokuseras. En ytterligare slutsats är att det kan vara gynnsamt att delta i teoretiska resonemang där ekvationer med negativa tal inkluderade utforskas med stöd av en lärandemodell. / The aim of the licentiate thesis is to contribute with knowledge concerning which aspects may be necessary for students to discern in order to identify and analyze a part-whole structure and in the long term master equations. In the research project, teachers and researchers participated in a collaborative and intervening work. Students in grades 3, 8 and 9 participated in semi-structured interviews and research lessons in order to produce data. The research lessons were conducted with learning study as research approach, which offers iterative processes.The theoretical frameworks consisted of phenomenography, variation theory and learning activity. The phenomenography approach was an analysis tool when the interviews were analyzed. Variation theory and learning activity constituted complementary frameworks when research lessons were designed and analyzed. The finding in Article 1 demonstrates a critical aspect, which was formulated as two quantities together (two parts) build up a third quantity (the whole) with the same “value” as the two parts together. The finding in Article 2 demonstrates five critical aspects, which wereformulated as (1) there is a relationship between all numbers in an equation, (2) two parts together are equivalent to a whole with the same value, (3) what constitutes a whole and parts, (4) the same relationship can be formulated in four different ways and (5) the whole can assume a lower value than the parts. One conclusion is that it may be an advantage already for young students to participate in teaching based on early algebra and learning activity where general mathematical structures are focused. A furtherconclusion is that it may be beneficial to participate in theoretical reasoning where equations with negative numbers included are explored with support by a learning model.