Orientador: Carina Alves / Banca: Marta Cilene Gadotti / Banca: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Edson Donizete de Carvalho / Resumo: Neste trabalho, apresentamos sistemas criptográ cos clássicos, como o criptossistema Di e-Hellman, o criptossistema RSA e o criptossistema de ElGamal. Estudamos alguns aspectos da criptogra a quântica e alguns sistemas de criptogra a pós-quântica, como o criptossistema Ajtai-Dwork, o criptossistema NTRU, o criptossistema de McEliece e o criptossistema de Niederreiter. Discutimos a segurança dos métodos de criptogra a e possíveis soluções apresentadas para garantir a troca de informações con - dencias mesmo com o avanço da computação quântica / Abstract: In this work, we show classic cryptography systems, as the Di e-Hellman cryptosystem, the RSA cryptosystem and the ElGamal cryptosystem. We studied some aspects of quantum cryptography and some post-quantum cryptography systems, as the Ajtai-Dwork cryptosystem, the NTRU cryptosystem, the McEliece cryptosystem and the Niederreiter cryptosystem. We discussed the classic cryptography methods security and possible solutions that are introduced to ensure the con dential information exchange even with the quantum computing advancement / Mestre

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: André Luiz Flores / Banca: Trajano Pires da Nóbrega Neto / Resumo: O objetivo deste trabalho e mostrar duas maneiras de se calcular o discriminante de um corpo de números. Da primeira forma, utilizando a teoria algébrica dos números clássica vimos como calcular o discriminante dos corpos quadráticos e corpos ciclotômicos. Através desta teoria é possível calcular o discriminante somente desses corpos com um árduo trabalho. Da segunda maneira utilizando os caracteres de Dirichlet e seus condutores vimos o cálculo do discriminante para qualquer corpo abeliano de uma maneira não muito trabalhosa. Finalmente, utilizando esses resultados damos aplicações sobre reticulados algébricos. / Abstract: The aim of this work is to make a parallel between two forms of computing discriminants of fields of numbers. In the first form, by classic algebraic number theory we computed the discriminant of quadratics fields and ciclotomic fields. Through of this theory, is possible to computing the discriminant alone of this fields with a arduous work. In the second form using Dirichlet's character and their conductors we computed the discriminant of any abelian field of a form not very hard. Finally, using this results we give applications on algebraic lattices. / Mestre

Orientadora: Carina Alves / Banca: Eliris Cristina Rizziolli / Banca: Grasiele Cristiane Jorge / Resumo: O foco deste trabalho está nos números primos, sobre os quais apresentamos algumas propriedades, primos especiais, avanços recentes e alguns testes de primalidade que detectam se um número é primo ou composto / Abstract: Prime numbers have been studied for millennia and still hide many mysteries. The focus of this work is on prime numbers. We present some properties, special primes, recent advances and some primality tests that detect if a number is prime or composite / Mestre

Orientador: Vanderlei Minori Horita / Banca: Carlos Gustavo T. de A. Moreira / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Resumo: Neste trabalho abordamos um tema introdutório na interseção de duas áreas da Matemáticas, Sistemas Dinâmicos e Teoria dos Números. Através de um jogo aparentemente ingênuo, a Paciência Búlgara, estudamos dinâmicas em conjuntos finitos. Devidoà finitude do domínio, todos os pontos do sistema convergem para uma órbita periódica, mas interessante é saber quantas órbitas distintas o sistema apresenta em função da quantidade de elementos do domínio. Outra pergunta natural é sobre o tempo de convergência a estas órbitas. Estudamos também uma variação deste jogo, a Paciência Carolina / Abstract: This work refers to a introductory topic in the intersection of two areas in Mathematics, Dynam-ical Systems and Number Theory. Motivated to a game seemingly naive, Bulgarian Solitaire, we study dynamics in finite sets. Due to the finiteness of the domain,all points of the sys-tem converge to a periodic orbit, but it is interesting to know how many distinct orbits the system displays depending on the size of the domain. Another natural question is about the convergence time of these orbits. We also study a variation of this game, Carolina Solitaire / Mestre

Orientador: Eliris Cristina Rizziolli / Banca: Aldicio José Miranda / Banca: Thiago de Melo / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar os fundamentos da divisibilidade, estudar as propriedades dos números primos, sua associação com fatoriais e com progressões aritm éticas, além de apresentar alguns resultados equivalentes à Conjetura de Goldbach / Abstract: The objective of this paper is to present the fundamentals of divisibility, study the properties of prime numbers, their association with factorials and arithmetic progressions, and present some results equivalent to Goldbach's Conjecture / Mestre

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este é um trabalho de pesquisa sobre um conjunto de números (irracionais) que é pouco trabalhado no ensino básico de matemática. Foi uma procura muito interessante e enriquecedora, pois encontrei matemáticos e historiadores com visões bem diferentes. Muitos deles não aceitavam este novo conjunto. Para Leopold Kronecker, só existia o conjunto dos números inteiros. Já para Cantor e Dedekind, o aparecimento dos irracionais foi extremamente importante para o desenvolvimento da matemática, abrindo novos horizontes. Menciono aqui um pouco da vida e da obra de alguns matemáticos que se envolveram com os números irracionais. Tratamos ainda da descoberta dos incomensuráveis, ou seja, como iniciou-se o problema da incomensurabilidade, e do retângulo áureo e sua importância em outras áreas. O trabalho mostra também dois grupos de números que não são mencionados quando ensinamos equações algébricas, que são os números algébricos e os números transcendentes, assim como teoremas essenciais para a prova da transcendência dos irracionais especiais e . Por fim, proponho uma aula para uma turma do 3 ano do Ensino Médio com o objetivo de mostrar a irracionalidade de alguns números, usando os teoremas pertinentes / This is a research about a set of numbers (irrationals) that is little explored in secondary school mathematics teaching. It was a very interesting and enriching search, because quite contrary facts were found. Several 19th century mathematicians did not accept this new set of numbers. To Leopold kronecker, only the set of the integers existed. To Cantor and Dedekind, the irrational numbers were extremely important for the development of mathematics, opening new horizons. I also mention the life and work of some mathematicians who were involved with the irrational numbers the discovery of the incommensurability was iniciated. The golden rectangle and its importance in other areas. The work also presents two groups of numbers that are not mentioned when algebraic equations are taught, the algebraic numbers and transcendental numbers. Essential theorems for the proof of the special irrational numbers e . Finnaly, I propose a lesson to a 3rd year high school class in order to show the irrationality of some numbers, using the relevant theorems

Made available in DSpace on 2013-08-07T18:52:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 000399697-Texto+Completo-0.pdf: 4588321 bytes, checksum: 2f720c681aad2c8b2c9c2221982e68a5 (MD5) Previous issue date: 2008 / This piece of research that has the theoretical foundation on the theory of Vergnaud’s Conceptual fields (1993) had as its main goal, considering whether a methodological approach to teaching, focusing interactive situations, may contribute to the construction of significative knowledge on 6 th grade students from elementary school, in the conceptual field of integers numbers. This issue arose in the light of concerns related to the data of INEP (Proof Brazil 2005) in the region where the author lives and works. A critical situation involving the learning was interpreted as a lack of harmony in the process of teaching and learning. The theory of the conceptual fields of Vergnaud attaches to the teacher the responsibility to forward the construction of concepts through the most appropriate choice of possible situations (tasks) to the conceptual development of the students. The aim was to investigate the impact of interactive situations to improve at least what is the scope of the school. To make the process of research possible, has been planned and implemented a proposal methodological rich in situations such as interactive games and challenge without limit itself solely to this type of activity. The results that will be presented, were obtained through observations made in the classroom, testing procedures-inaction used by students throughout the process and in interview made with the students. It was of fundamental importance to the students facilitate the explicitation what Vergnaud call of operative invariants or knowledge-in-action used by them, and the concepts underlying these procedures so that the teacher could propose situations, aiming to lead the student to rebuild schemes satisfactory for a given concept. Throughout the text, it is discussed the importance of the teacher plan and plan again to situations to be offered to the students, for a significant construction of mathematical concepts. The results show that the interactive activities are effective for the effectiveness of an education innovative, more human, in which the teacher goes beyond the function of transmitting systematic knowledge, awakening the interest in students to learn. / Esse trabalho de investigação que tem como fundamentação teórica a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1993) teve como principal objetivo, analisar se uma abordagem metodológica de ensino, priorizando situações interativas, pode contribuir para uma construção significativa do conhecimento de alunos de 6ª série do Ensino Fundamental, no campo conceitual dos números inteiros. Essa problemática surgiu em função de preocupações relacionadas aos dados do INEP (Prova Brasil 2005) na região onde reside e trabalha a autora. A situação crítica envolvendo a aprendizagem foi interpretada como falta de sintonia no processo de ensino e de aprendizagem. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud atribui ao professor a responsabilidade de encaminhar a construção de conceitos mediante a escolha mais adequada possível de situações (tarefas) que permitam a evolução conceitual dos estudantes. Buscou-se investigar, o impacto das situações interativas no sentido de melhorar pelo menos o que está ao alcance da escola. Para que o processo de investigação fosse possível, foi planejada e executada uma proposta metodológica rica em situações interativa como jogos e desafio, sem limitar-se exclusivamente a esse tipo de atividade. Os resultados que serão apresentados, foram obtidos por meio de observações feitas em sala de aula, análise dos procedimentos-em-ação utilizados pelos estudantes ao longo do processo e também em entrevista feitas com os alunos. Foi de essencial importância oportunizar aos estudantes a explicitação do que Vergnaud denomina de invariantes operatórios ou conhecimentos-em-ação utilizados por eles, e as concepções que fundamentam esses procedimentos, para que o professor pudesse propor situações, visando levar o aluno a reconstruir esquemas satisfatórios para um determinado conceito. Procura-se ao longo do texto, discutir a importância de o professor planejar e replanejar a situações a serem propostas aos alunos, visando uma construção significativa dos conceitos matemáticos. Os resultados encontrados mostram que as atividades interativas são eficazes para a efetivação de uma educação inovadora, mais humana, envolvente, na qual o professor ultrapasse a função de transmissor de conhecimentos sistematizados, despertando nos estudantes o interesse por aprender.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-01-28Bitstream added on 2014-06-13T20:27:10Z : No. of bitstreams: 1 silva_da_me_rcla.pdf: 285082 bytes, checksum: 0877e2cc26aa383bde73c36de9c7be5e (MD5) / O objetivo desta dissertação é fazer uma exposição elementar sobre a irracionalidade de certos números reais, a construção de um número transcendente, além disso, demonstrar a irracionalidade e transcendência do número π. Entre outras ferramentas, utilizamos o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável. / The purpose of this dissertation is to present an elementary statement about irrationality of certain real numbers, the construction of a transcendental number, furthermore demonstrate the irrationality and transcendence of the π number. Among other tools, we have made use the Di erential and Integral Calculus of one variable.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-01-28Bitstream added on 2014-06-13T20:07:43Z : No. of bitstreams: 1 dias_chbb_me_rcla.pdf: 477138 bytes, checksum: 4be306af49ba1d1e9a1fd7538c7a63be (MD5) / O objetivo deste trabalho é apresentar os fundamentos da divisibilidade, estudar as propriedades dos números primos, sua associação com fatoriais e com progressões aritm éticas, além de apresentar alguns resultados equivalentes à Conjetura de Goldbach / The objective of this paper is to present the fundamentals of divisibility, study the properties of prime numbers, their association with factorials and arithmetic progressions, and present some results equivalent to Goldbach's Conjecture

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:06Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-04-12 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The teaching of Complex Numbers is based almost exclusively on an algebraic approach, although the geometric approach of complex numbers is contemplated in the study of its polar form (or trigonometric). The purpose of this paper is to present some significant applications of complex numbers in plane geometry, making thus a contrast to this view strictly algebraic and formal, that has traditionally characterized the teaching of these numbers. We'll cover some classical theorems of geometry and some geometric problems, evaluating the efficiency of complex numbers as a tool to demonstrate the theorems and results relevant to the resolution of such problems. Some of the theorems selected in our study were: Napoleon's Theorem, the Circle of Nine Points and Simson Line. / O ensino dos números complexos baseia-se quase que exclusivamente em uma abordagem algébrica. Embora, a abordagem geométrica dos números complexos estejá contemplada no estudo da sua forma polar (ou trigonométrica).O propósito deste trabalho é apresentar algumas aplicações significativas dos números complexos na geometria plana, fazendo assim uma contraposição a essa visão estritamente algébrica e formal que tradicionalmente caracteriza o ensino dos números complexos. Com esse objetivo, vamos abordar alguns teoremas clássicos da geometria e alguns problemas geométricos, avaliando a eficiência dos números complexos como ferramenta para demonstrar os teoremas e os resultados pertinentes a resolução de tais problemas. Alguns dos teoremas selecionados foram : o Teorema de Napoleão, o Círculo dos Nove Pontos e a Reta de Simson.