<p>Purpose: The purpose of the study is to find out what mathematical content primary school children encounter in their free options at school.</p><p>Through observation, the study defines mathematical areas that primary school students encounter in their free options at school. We want the study to show the reader the mathematics that students continuously meet without associating it with regular mathematics as taught in school.</p><p>A number of mathematical areas have been defined in the analysis of the observations. These areas have subsequently been discussed more thoroughly. Finally, the areas have been arranged in a grid system to clarify the results.</p><p>In our study, we have discovered that mathematics exists in all the observed situations the students participated in.</p><p>We believe that observation as a method can give teachers a tool for helping students associate practical actions during their free options with the more theoretical aspects of formal teaching of mathematics. We discuss this further in the study.</p>

Framförvarande arbete är en empirisk studie som fokuserar på kritiska aspekter; elevers skilda uppfattningar av samma lärandeinnehåll. Syftet är att identifiera kritiska aspekter i undervisning av taluppfattning i årskurs 2. En Learning Study har utförts som innebär att två elevgrupper har genomfört ett identiskt för- och eftertest med lektioner däremellan. Resultatet har analyserats med hjälp av variationsteorin, som syftar till att effektivt och ändamålsenligt variera samma lärandeinnehåll. Resultatet identifierade följande kritiska aspekter i undervisningen: öppna utsagor med subtraktion, begreppsförmågan, muntliga kommunikationen samt elevens tålamod. Begreppsförmågan handlar om att eleverna hanterar anvisade uppgifter på ett korrekt sätt. Den muntliga kommunikationen är övergripande och påverkar förståelsen av det centrala ämnesinnehållet. Elevernas tålamod är beroende av inre och yttre förutsättningar. Resultatet visade även att kritiska aspekter är dynamiska och förändras kontinuerligt i undervisningsprocessen. Det ställer krav på pedagogens förmåga att kontinuerligt observera, organisera och reflektera i skolverksamheten. Pedagoger och elever som uppmärksammar kritiska aspekter i undervisningen har sannolikt större möjlighet att undanröja hinder och missuppfattningar i elevernas lärande, vilket utvecklar ett gynnsamt lärande.

Submitted by Giovana Pereira Sander null (giovanapsander@gmail.com) on 2018-08-07T23:09:13Z No. of bitstreams: 1 tese.pdf: 7366911 bytes, checksum: fb624daa5f9f487a5a4ed7b8ba8a4d9a (MD5) / Approved for entry into archive by Minervina Teixeira Lopes null (vina_lopes@bauru.unesp.br) on 2018-08-08T14:19:19Z (GMT) No. of bitstreams: 1 sander_gp_dr_bauru.pdf: 6829882 bytes, checksum: c5163ec7e7597e1229b9131800facab3 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-08T14:19:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 sander_gp_dr_bauru.pdf: 6829882 bytes, checksum: c5163ec7e7597e1229b9131800facab3 (MD5) Previous issue date: 2018-03-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / A pesquisa tem por objetivo analisar e compreender a relação entre a percepção sobre a autoeficácia na resolução de tarefas numéricas e o sentido de número dos alunos que estão terminando o Ciclo de Alfabetização (3.º ano do Ensino Fundamental). O quadro teórico integra duas temáticas: a crença de autoeficácia e o sentido de número. A crença de autoeficácia é fundamentada a luz da Teoria Sócio-Cognitiva, teoria esta desenvolvida pelo psicólogo Albert Bandura. O sentido de número é fundamentado por autores que investigam essa temática, incluindo estudos sobre o cálculo mental. Esta investigação é de natureza metodológica mista com a conjunção de dados quantitativos e qualitativos. Os participantes da pesquisa foram 407 alunos de 29 turmas do 3.º ano do Ensino Fundamental de 12 escolas do município de Bauru – São Paulo – Brasil que foram selecionadas por sorteio. Os instrumentos para a coleta de dados foram um questionário, que tinha a finalidade de caracterizar os participantes em termos de idade, gênero, ano de escolaridade bem como sua percepção de desempenho em Matemática de forma geral; uma escala de crença de autoeficácia em tarefas numéricas, que tinha por objetivo mensurar as crenças de autoeficácia dos alunos diante de tarefas numéricas; e as tarefas numéricas, que tinha por finalidade investigar o sentido de número dos alunos. A coleta de dados aconteceu em dois momentos: num primeiro momento, foram aplicados o questionário e a escala de crença de autoeficácia em tarefas numéricas; no segundo momento, foram aplicadas as tarefas numéricas. Os dados evidenciaram que: 1) de maneira geral, os alunos possuem crenças positivas de autoeficácia em tarefas numéricas; 2) as crenças de autoeficácia se diferem quando consideramos os componentes de sentido de número como objeto de crença; 3) o sentido de número dos alunos é mais evidenciado quando se trata de conhecimentos e destrezas com os números; 3) o algoritmo é o método de cálculo mais utilizado pelos alunos em detrimento de outros tipos de cálculos; 4) não foram encontradas correlações significativas entre crença de autoeficácia e sentido de número, bem como crença de autoeficácia e método de cálculo; 5) a ausência de correlações significativas pode ser devido ao fato da natureza das tarefas serem diferentes à das tarefas normalmente utilizadas para o ensino da Matemática. Concluímos na pesquisa que é preciso dar mais atenção ao desenvolvimento de aspectos cognitivos e afetivos no ensino da Matemática. Sobre os aspectos cognitivos, é preciso focar em outros métodos de cálculo, como o cálculo mental e de estimativa, que irão contribuir para o conhecimento e destreza com números e operações e para a aplicação desses aspectos. Ainda, sendo a crença de autoeficácia muito positiva para os alunos, é preciso considerar aspectos afetivos que influenciam na aprendizagem e na confiança dos alunos ao resolver tarefas matemáticas. / The goal of the research is to analyze and understand the relationship between the perception of self-efficacy in the resolution of numerical tasks and the number of students who are finishing the Literacy Cycle (3rd year of elementary school). The theoretical framework integrates two themes: the self-efficacy beliefs and the number sense. The self-efficacy beliefs is based on the light of Socio-Cognitive Theory, a theory developed by the psychologist Albert Bandura. The number sense is supported by authors who investigate this issue, including studies about mental calculation .This research is of mixed methodological nature with the combination of quantitative and qualitative data. The participants of the research were 407 students from 29 classes of the 3rd year of elementary school from 12 schools in the city of Bauru - São Paulo - Brazil that were selected by random. The instruments for data collection were a questionnaire, which had the purpose of characterizing the participants in terms of age, gender, year of schooling as well as their perception of performance in Mathematics in general; a scale of self-efficacy beliefs in numerical tasks, whose objective was to measure students' self-efficacy beliefs in numerical tasks; and numerical tasks, whose purpose was to investigate the number sense of the students. The data collection happened in two moments: at first, the questionnaire and the scale of self-efficacy beliefs in numerical tasks were applied; in the second moment, the numerical tasks were applied. The data showed that: 1) in general, students have positive self-efficacy beliefs in numerical tasks; 2) self-efficacy beliefs differ when we consider the components of sense of number as an object of belief; 3) the number sense of students is more evident when it comes to knowledge and skills with numbers; 3) the algorithm is the method of calculation most used by the students in detriment of other types of calculations; 4) no significant correlations were found between self-efficacy beliefs and number sense, as well as self-efficacy beliefs and method of calculation; 5) the absence of significant correlations may be due to the fact that the nature of the tasks is different from the tasks normally used for teaching mathematics. We conclude in the research that it is necessary to give more attention to the development of cognitive and affective aspects in the teaching of Mathematics. Regarding the cognitive aspects, it is necessary to focus on other methods of calculation, such as mental and estimation, which will contribute to the knowledge and dexterity with numbers and operations and to the application of these aspects. Also, since the self-efficacy beliefs is very positive for students, it is necessary to consider affective aspects that influence students' learning and confidence in solving mathematical tasks. / 99999.010434/2014-03.

This degree project will study students' number sense based on teacher experiences from teaching fractions and if it affects the outcome. It will also highlight a number of common difficulties that the students may encounter but also how the teaching can be designed to support the students. The collection of the material on which the result is based has been received through qualitative interviews with active mathematics teachers in grade four to six. In order to investigate whether pupils' number sense affects the results in learning fractions, the theoretical framework number sense will be used. Number sense is created by McIntosh, Reys and Reys (1992) and is a tool for analyzing students' knowledge of understanding numbers, understanding operations, and making calculations with numbers. During the analysis of the data, teachers 'responses were documented in a table showing whether any of the student difficulties that became visible matched the categories for a good number sense.

Sammanfattning Syftet med denna studie är att undersöka betydelsen av elevers taluppfattning för deras kunskap i geometri och aritmetik. Analyserna baseras på jämförelser av resultat dels från tester i den ordinarie undervisningen inom de två matematikgrenarna aritmetik och geometri och dels resultat från ett test, för bestämning av elevernas taluppfattning, som tagits fram inom denna studie. Undersökningsmetoden som användes för att mäta taluppfattningen var kvantitativa intervjuer, där 30 elever i åk 2 deltog. Intervjuerna var utformade som ett matematiskt samtal utifrån en för årsklassen anpassad intervjuguide, där eleverna samlade poäng genom att lösa uppgifter på olika svårighetsnivåer. Resultaten sammanställdes därefter till ett helhetsresultat. Resultaten från de tre testerna analyserades med statistiska verktyg så som punktdiagram och bestämning av korrelationskoefficienter. En positiv korrelation kan påvisas för sambandet mellan det resultat eleverna uppnår på taluppfattningstestet och deras resultat på både aritmetik och geometri. Korrelationen i denna studie är starkare för sambandet taluppfattning/geometri, korrelationsfaktor 0,73, än för sambandet taluppfattning/aritmetik, korrelationsfaktor 0,50. Genom den positiva korrelation som påvisas stödjer resultaten uppfattningen att taluppfattningen har stor betydelse för elevernas matematiska utveckling. Denna studie visade att detta samband inte enbart gäller aritmetikens räknelära utan även gäller för geometrin. / Abstracts The aim of this study is to investigate the importance of students’ number sense on their geometry and arithmetic skills. The analyzes are based on comparisons of results, from tests in the regular teaching within the two mathematical branches, arithmetic and geometry, and the results from a test, for determining the students’ number sense, that was developed within this study. The survey method used to measure number sense skills were quantitative interviews, where 30 students in grade 2 participated. The interviews were designed as a math conversation based on an interview guide adapted for the age group concerned. The students gathered points by solving tasks at different levels of difficulty. The results were then compiled into an overall result. The results of the three tests were analyzed using statistical tools such as, point diagrams and determination of correlation coefficients. A positive correlation was demonstrated for the correlation between the result the students achieved in the test of number sense and their results in the tests in both arithmetic and geometry. The correlation in this study is stronger for the relationship number sense / geometry, correlation factor 0.73, than for the number sense / arithmetic, correlation factor 0.50. Through the positive correlation that is shown, the findings support the perception that number sense is of major importance to the students’ mathematical development, and this study showed that this relationship is valid not only in the pure counting skills, as arithmetic, but also for skills in geometry.

Framförvarande arbete är en systematisk litteraturstudie som syftar till att identifiera kritiska aspekter relaterat till taluppdelning vid utveckling av en god taluppfattning, huvudsak i årskurs 1-3. Kritiska aspekter innebär att elever uppfattar samma lärandeinnehåll på olika sätt. Datainsamlingen består av vetenskapliga artiklar och avhandlingar samt övriga relevanta publikationer som har avsikt att generera en övergripande bild inom forskningsområdet. Resultatanalysen presenterar tidigare forskning beträffande taluppfattning och taluppdelning. Därefter utförs en kategorisering av informationen som framkommit i de granskade vetenskapliga artiklarna och publikationerna. Kategoriseringen är baserad på fem aspekter och kommer att integreras med ramverket variationsteorin och fokuserar framförallt på begreppen generalisering, variationsmönster och kritiska aspekter. De fem utvalda kategorierna för att urskilja kritiska aspekter i förhållande till en god taluppfattning är: förståelse för talens olika representationer, relationen antal – mängd, begreppsinlärning, kommunikation – elevernas fysiska miljö och individuella erfarenheter, organisation och reflektion över utvalt lärandeinnehåll. Resultatanalysen visar att kunskapen att hantera uppdelning av tal i olika situationer sammanhänger med utveckling av en grundläggande taluppfattning för hur tal kan representeras i skilda situationer. För att utveckla en grundläggande taluppfattning är det viktigt att synliggöra kritiska aspekter under hela lärprocessen. Resultatet visar att det ä rbetydelsefullt att utveckla förmågan att dela upp tal i skilda konstellationer för att hantera skillnaden mellan antal och mängdbegreppet. Begreppsinlärning är ytterligare en grundprincip och kritisk aspekt som inkluderar en språklig dimension av matematik. För att förstå innehållet i undervisningen måste eleverna känna till vad begreppen inom ämnesområdet statuerar. En god begreppsinlärning hjälper eleverna att välja ut relevanta räknestrategier till anvisad taluppgift. En övergripande faktor för att identifiera kritiska aspekter är muntlig kommunikation kopplat till elevernas fysiska miljö och individuella erfarenheter. Muntlig kommunikation som synliggörs på ett relevant sätt kan medverka till att variationer av samma lärandeinnehåll upplevs som tillvaratagande av kunskap, och inte orsakar hinder vid inlärningen. Sammanfattningsvis är det väsentligt att ställa kritiska aspekter mot varandra för att skapa ett intimt förhållande mellan vilka situationer som bidrar till ett ökat lärande och vilket lärandeinnehåll som inte genererar möjligheter till att tillvarata kunskap på ett relevant sätt. Nyckelbegrepp: Taluppfattning, taluppdelning, kritiska aspekter, målorienterad undervisning.

Syftet med detta arbete är att undersöka hur lärare i årskurs 1 arbetar med individualisering inom taluppfattning. Taluppfattningen är en av de mest fundamentala delarna inom matematiken och är viktig inför det kommande arbetslivet. Inom ramen av matematikundervisningen är det dock omöjligt att kräva lika arbete av alla elever, där varje barn förväntas arbeta på samma sätt och i samma takt, vilket gör att individualiserade arbetsformer är nödvändiga. Ett individualiserande arbetssätt kan vara avgörande för barnets akademiska framtid, därmed bör undervisningen gestaltas på ett sätt som tillgodoser varje elevs behov.   Med hjälp av nio kvalitativa intervjuer, med utgångspunkt i den fenomenologiska ansatsen, har arbetets två frågeställningar besvarats. Frågeställningarna har dels efterfrågat hurlärare i Västsverige med behörighet i matematik i årskurs 1 arbetar med taluppfattning, och dels varförlärarna arbetar på det sätt de gör.    Resultatet visar att de flesta lärarna utövar nivåindividualisering (undervisningsstoffet anpassas till elevernas kunskapsnivåer), miljöindividualisering (anpassade gruppkonstellationer och lokaler) och materialindividualisering (materialet anpassas utifrån elevernas behov) inom ramen av matematikundervisningen och området taluppfattning. Lärarna i studien hade svårt att besvara varförde arbetar på det sätt de gör, men resultatet visar att de främst jobbar utifrån egna erfarenheter inom området. / The purpose of this study is to investigate how teachers in grade 1 work with individualization when teaching number sense. Number sense is one of the most fundamental parts of mathematics and is important for children’s upcoming working life. It is at the same time impossible in mathematics education to expect the same work, in the same pace from every pupil, which makes an individualized approach necessary. Individualization can be crucial for the academic future of the child, hence the teaching should be shaped in a way that accommodates every pupils need.   With nine qualitative interviews, based on the phenomenological approach, have the two issues of this work been answered. The issues have partly asked howteachers in western Sweden with competence in mathematics in year 1 work with speech perception, and partly whythe teachers work the way they do.   The result shows that most of the teachers imply level individualization (the teaching material is adapted to the students' knowledge levels), environment individualization (custom group configurations and premises) and material individualization (the material is adapted to the needs of the students) within the framework of mathematics education and the area of number sense. The teachers of the study had difficulties explaining why they work the way they do, but the results show that their work is based on their own experience in the field.

En god taluppfattning krävs för att elever i skolan ska kunna tillgodose sig matematikundervisningen. Taluppfattning hänvisar till elevers kunskaper om tals relationer, betydelse och storlek samt de begrepp som har en direkt anslutning. Litteraturstudien syftar till att sammanställa vad forskning belyser om grundskolelevers taluppfattning samt vilka aspekter av undervisning och utveckling av taluppfattning i grundskolan som föreligger. Material som framförts och analyserats i studien är taget från Skolverket, studentlitteratur, undersökningar samt nationella och internationella studier inhämtade från databassökningar. För lärare finns Skolverkets centrala innehåll att förhålla sig till i matematikundervisningen. Där framställs ett helt ämnesområde om Taluppfattning och tals användning och kommentarmaterialet betonar vikten av god taluppfattning för en vidare matematikutveckling. Trots detta visar undersökningar att svenska elever hamnar under genomsnittet när det kommer till kunskap om taluppfattning. Resultatet i litteraturstudien var i det stora hela framfört på ett varierande sätt, men samtliga studier indikeraratt en god taluppfattning är avgörande för elevers vidare matematiska utveckling. Vad gäller begreppet taluppfattning beskrivs det på olika sätt, då det saknas en särskild förklaring för det. Taluppfattning är nämligen avgörande inom ett flertal kategoriseringar och ämnesuppdelningar inom ämnet matematik

Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att undersöka hur olika representationsformer kan påverka elevers inlärning av grundläggande taluppfattning. I denna studie har sökningen av artiklar skett genom både manuell sökning och databassökning. Sökning i databaserna har skett främst i ERIC och Unisearch. Resultatet visar att samtliga representationsformer är fördelaktiga att använda som i matematikundervisningen, för elevernas inlärning av grundläggande taluppfattning.

Studiens syfte är att undersöka på vilket sätt Andrews &amp; Sayers (2015) åtta komponenter för taluppfattning återfinns i det obligatoriska nationella bedömningsstödet i taluppfattning för vårterminen i årskurs 1. Vidare syftar studien att undersöka vilken möjlighet kartläggningsmaterialet ger läraren att identifiera elevernas taluppfattning. Det analyserade materialet har begränsats till bedömningsstödet i taluppfattning för vårterminen. Bedömningsstödet består av en skriftlig del och en muntlig del samt tre olika kunskapsnivåer (lägre-, mellan och högre nivå) för vardera del. Analysen fokuserar främst på de uppgifter som finns på mellannivå då denna är den lägst godtagbara nivån. Studiens teori utgår från Andrews &amp; Sayers (2015) ramverk för grundläggande taluppfattning. Resultatet i studien visar att alla de åtta komponenterna täcks av materialet, dock varierar det i vilken omfattning komponenterna återfinns. Sammantaget återfinns flest komponenter i de muntliga uppgifterna. Vidare visar resultatet att kartläggningsmaterialet kan ge läraren möjligheter att identifiera elevernas taluppfattning även om vissa komponenter kräver ytterligare material och tillfällen att kartlägga.