Syftet med denna studie var att undersöka hur fritidslärare resonerar om elevers egenvalda aktiviteter, med fokus på fri lek. Frågeställningen som användes i studien var: vilken syn har fritidslärare på elevers egenvalda aktiviteter? Data samlades in genom kvalitativa semistrukturerade intervjuer med fem utbildade fritidslärare och fritidspedagoger.  Studiens empiri analyserades utifrån teorimodellen “Teachers Thinking”, som granskas av Kansanen (1993) och tematiserades i tre olika huvudkategorier. Studiens resultat visade att fritidslärare betraktar elevers egenvalda aktiviteter som centrala för deras lärande och utveckling, och ska initieras av eleverna själv, baserat på deras intressen och behov. Fritidslärarens roll framstod som stödjande, genom att vara närvarande och observant utan att direkt kliva in och styra leken. Deras närvaro ansågs även som avgörande för att främja en inkluderande och trygg lekmiljö. Utifrån både tidigare forskning och resultatet i denna studie blev slutsatsen att fritidslärare ska erbjuda elever möjligheter till att välja fritt, samtidigt som det var viktigt att ha ett balanserande tillvägagångssätt mellan fria och styrda aktiviteter, vilket kunde stärka elevers lärande och sociala utveckling.

Denna studie syftar till att undersöka vilka typer av resonemang som elever får möjlighet att föra i uppgifter som behandlar bestämda integraler i nationella och lärarkonstruerade prov. Studien använder en kvantitativ innehållsanalys där provuppgifter som behandlar bestämda integraler analyseras med hjälp av ett kodningsschema bestående av dimensioner med underkategorier. Analysens huvudfokus är dimensionen resonemangstyp, där uppgifter kategoriseras efter den typ av resonemang som krävs för att lösa uppgiften; imitativa, lokalt kreativa eller globalt kreativa resonemang. Resultaten visar att integraluppgifter som kräver imitativa resonemang är de vanligaste i både nationella och lärarkonstruerade prov, men att andelen imitativa resonemang är högre i de lärarkonstruerade proven än i de nationella. Vidare är andelen globalt kreativa resonemang högre i de nationella proven än i de lärarkonstruerade. Därtill förekommer samtliga resonemangstyper i båda typerna av prov, men det finns en stor variation av fördelningen av de olika resonemangstyperna mellan de olika lärarkonstruerade proven. Studiens slutsats är att imitativa resonemang betonas kvantitativt i prov, även om samtliga resonemangstyper krävs för att alla uppgifter ska kunna lösas. Detta kan var problematiskt eftersom tidigare studier har visat att elevers begreppskunskap kring bestämda integraler är bristande och att arbete med kreativa resonemang kan stödja elevers utveckling av begreppskunskap. / The purpose of this study is to examine the types of reasoning students get the opportunity to use in tasks which involve definite integrals in national exams and exams constructed by teachers. The study uses a quantitative content analysis where tasks involving definite integrals in exams are analyzed using a coding sheet consisting of dimensions and subcategories. The focus of the analysis is the dimension type of reasoning, where tasks are categorized as requiring either imitative, local creative, or global creative reasoning. The results show that tasks on definite integrals that require imitative reasoning are the most common type of task in both national exams and exams constructed by teachers. However, the share of tasks requiring imitative reasoning is higher in exams constructed by teachers than in national exams. Furthermore, the share of tasks requiring global creative reasoning is higher in the national exams than in the exams constructed by teachers. All types of reasoning can be found in both the national exams and the exams constructed by teachers, but there is a large variation in the proportions between the different types of reasoning in the different exams constructed by teachers. The conclusion of the study is that imitative reasoning is quantitatively emphasized in exams, even though all types of reasoning are required to solve all tasks involving definite integrals. This can be seen as problematic as previous studies have shown that the conceptual knowledge on definite integrals of student is lacking and that working with creative reasoning can bolster students’ development of conceptual knowledge.

Föreliggande studie undersöker hur aspekter av mindset, återkoppling och matematiska resonemang påverkar elevers lärande i matematik. Syftet med studien är att bidra till en ökad medvetenhet och en fördjupad förståelse kring hur elevers lärande i matematik kan föras framåt.  I studien förenas två olika teorier för lärande: en socialkonstruktivistisk teori och en metakognitiv teori. Ur denna synvinkel, kan kunskap inte förmedlas, utan är något som utvecklas i möten mellan lärare och elever och elever sinsemellan. Eleven är sin egen resurs i lärandet och läraren skapar förutsättningar för elevens lärande. Metakognitiv teori, i vilken även kognitiv teori ingår, handlar om de tankeprocesser eleverna använder när de hanterar information.  Som metod valdes enkäter med likertskalor samt styrd observation.  Vid observationerna fick eleverna arbeta i par där de var ungefär jämnpresterande i matematik och fick resonera högt när de arbetade med en problemlösningsuppgift. Forskaren deltog aktivt genom att ge eleverna återkoppling antingen på uppgiftsnivå eller på processnivå. Resultatet från de fem elevpar som fick feedback på processnivå visade att denna återkoppling gav bränsle till de kreativa resonemangen som fortsatte. Gemensamt för de fem elevpar som fick feedback på uppgiftsnivå var att de kreativa resonemangen avstannade när feedback gavs, till förmån för algoritmiska resonemang där resonemanget inte var väl förankrat i en matematisk grund. För elever i matematiksvårigheter kunde en svårighet i sig vara att ta steget från det konkreta till det generella och abstrakta, oavsett vilken återkoppling de fick. Vid analysen kategoriserades hälften av eleverna att ha ett growth mindset, vilket innebär att de ser på sin förmåga i matematik som något de kan påverka och utveckla. Den andra hälften kategoriserades att ha ett fixed mindset, vilket innebär att de ser sin förmåga i matematik som en medfödd egenskap som inte går att påverka särskilt mycket. Den grupp elever som inte använde den återkoppling de fick på ett strategiskt sätt för att föra resonemangen framåt, dominerades av att ha ett fixed mindset. Dessa elever gav lättare upp eller använde undvikande strategier då de mötte svårigheter jämfört med övriga elever. Resultatet kan tillämpas i skolan genom att undervisning i matematik bör fokusera på processen där kreativa resonemang och growth mindset gynnas. Det är viktigt att lärare inte ”skalar av” de delar av matematiken som bidrar till den begreppsliga förståelsen, t ex genom att ha starkt fokus på metoder och procedurer, i sin strävan att förenkla och underlätta för elever i matematiksvårigheter.

Denna kvalitativa studie fokuserar på att undersöka hur kreativa och imitativa resonemang kommer till uttryck i en lågstadiekontext. Genom observationer av videoinspelningar av när 20 elever i årskurs 3 arbetar med rika problem har vi kommit fram till fem teman som beskriver tillfällen där kreativa och imitativa resonemang uttrycks. Dessa är när: elever utgår från tidigare matematiska kunskaper, elever använder sig av bilder eller plockmaterial, elever tar hjälp från andra, elever gissar sig fram, och elever diskuterar de matematiska förutsättningarna. Resultatet visar att kreativt resonemang förekommer i alla teman, och att de ofta är tätt sammanflätade med de imitativa resonemang som förekommer.

Som ett led i att stärka den digitala kompetensen i den svenska skolan så beslöt regeringen2017 att införa användandet av programmering i matematikämnet. Sedan höstterminen 2018 så har flertalet matematikkurser för gymnasiet fått uppdaterade kursplaner med tillägget att programmering ska användas som verktyg för problemlösning. I praktiken innebär detta att drygt hälften av de nationella gymnasieprogrammen nu får programmering som antingen obligatorisk eller valbar genom någon av matematikkurserna i c-spåret eller matematik 3b. I samband med de uppdaterade styrdokumenten så har förlagen givit ut reviderade läromedel i matematik eller webresurser med programmeringsuppgifter. I detta arbete utreds i vilken utsträckning dessa programmeringsuppgifter relaterar till problemlösning. Analysen visar att endast en dryg fjärdedel av samtliga analyserade programmeringsuppgifter kategoriseras som problemlösningsuppgifter. Metoden för dataanalys bygger på Lithners ramverk för imitativa och kreativa resonemang. Metoden definierar tre olika lösningstyper (kategorier) av matematikuppgifter; High relatedness tasks (HR), Local low relatedness tasks (LLR) och Global low relatedness tasks (GLR). När lösningen till en uppgift är en procedur tagen från läroboken så räknas det till HR kategorin och räknas då som ett imitativt resonemang. När en uppgift tillhör någon av de två övriga kategorierna (LLR eller GLR) så innebär det att eleven själv behövt konstruera stora delar av lösningen till en uppgift. För att främja utvecklingen av problemlösningsförmågan som räknas som ett kreativt resonemang, så måste eleven få arbeta med uppgifter som tillhör LLR eller GLR kategorierna. Metoden för datainsamling är en innehållsanalys av läromedel i matematik som utgörs av förlaget Natur & Kulturs serie Matematik 5000+ samt förlaget Gleerups serie Exponent med en tillhörande webresurs. I arbetet analyserades 86 programmeringsuppgifter ur Matematik 5000+ samt ytterligare 20 programmeringsuppgifter publicerade som en webresurs med hänvisning till Exponent. Ett antal av de 20 programmeringsuppgifterna relaterade till två läromedel vilket ledde till att det totala antalet analyserade programmeringsuppgifter blev 113. Det visade sig att en delmängd av de analyserade uppgifterna var sådana att någon lösningsalgoritm inte behövdes för att lösa uppgiften, exempelvis genom att facit varit givet i problemformuleringen. Eftersom den typen av uppgifter inte kunde kategoriseras till någon av de tre befintliga kategorierna så definierades en ny fjärde kategori None relatedness tasks (NR). Resultatet visar att nästan hälften av de analyserade uppgifterna (55 av 113) tillhör NR kategorin. En del av förklaringen ligger i att Matematik 5000+ introducerar eleverna till programmering genom färdiga exempel. Analysen visade att ytterligare 28 uppgifter hamnade i HR kategorin vilket således innebär att endast en dryg fjärdedel av samtliga analyserade programmeringsuppgifter klassas som problemlösning. För matematik 3c derivata och matematik 3c integraler så analyserades totalt tio uppgifter där ingen av dessa relaterade till problemlösning. Här används programmeringen istället som ett verktyg för att förklara viktiga begrepp som ingår i dessa kapitel. De matematiska moment som visade sig lämpa sig väl för problemlösningsuppgifter var bl.a. matematik 1c aritmetik och matematik 2c linjär algebra. Sammanfattningsvis så visar studien att en stor majoritet av programmeringsuppgifterna leder till att eleven introduceras till programmering eller leder till att eleven får arbeta med procedurförmågan. Exponent hade en jämförelsevis stor andel programmeringsuppgifter för problemlösning, med sina 44 %. Matematik 5000+ i sin tur presenterar ett större antal uppgifter för problemlösning med deras 18, vilket dock motsvarar endast 21 % av de totalt 86 uppgifterna. / As part of increasing the digital competence in the Swedish school, the government decided in 2017 to introduce the use of programming in the subject of mathematics. Since the autumn term 2018, several mathematics courses for upper secondary school have received updated syllabi with the addition that programming will be used as a tool for problem solving. In practice, this means that just over half of the national upper secondary school programs now receive programming that is either compulsory or elective through one of the mathematics courses in the c-track or mathematics course 3b. In conjunction with the updated governing documents, the publishers have published revised teaching aids in mathematics or webresources with programming tasks. In this thesis, it is investigated to what extent these programming tasks relate to problem solving. The analysis shows that only just over a quarterof all analyzed programming tasks are categorized as problem-solving tasks.The method of data analysis is based on Lithner's framework for imitative and creative reasoning. The method defines three different solution types (categories) of mathematical problems; High relatedness tasks (HR), Local low relatedness tasks (LLR) and Global low relatedness tasks (GLR). When the solution to a task is a procedure taken from the textbook, it is considered part of the HR category and is then categorized as an imitative reasoning. When a task belongs to one of the other two categories (LLR or GLR), it means that the student has had to construct large parts of the solution for the task. In order to promote the development of problem-solving ability, which is considered as creative reasoning, the student must be allowed to work with tasks that belong to the LLR or GLR categories. The method of data collection is content analysis of teaching aids in mathematics, which consists of the publisher Natur & Kultur’s series Matematik 5000+ and the publisher Gleerups's series Exponent with an associated web resource. In this study, 86 programming tasks from Matematik 5000+ were analyzed and another 20 programming tasks published as a web resource with reference to Exponent. Some of the 20 programming tasks referred to two teaching aids, which led to the total number of analyzed programming tasks becoming 113. It turned out that a subset of the analyzed tasks was such that no solution algorithm was needed to solve them, for example by the fact that the results had been given in the problem formulation. As this type of data could not be categorized into any of the three existing categories, a new fourth category None relatedness tasks (NR) was defined. The results show that almost half of the analyzed tasks (55 of 113) belong to the NR category. Part of the explanation lies in the fact that Matematik 5000+ introduce the students to programming through ready-made examples. The analysis showed that a further 28 tasks ended up in the HR category, which thus means that only just over a quarter of all analyzed programming tasks are classified as problem solving. For mathematics 3c derivatives and mathematics 3c integrals, a total of ten tasks were analyzed, none of which related to problem solving. The programming tasks were instead used as a tool to explain important concepts from these chapters. The mathematical chapters that proved to be well suited for problem-solving tasks were e.g. mathematics 1c arithmetic and mathematics 2c linear algebra. In summary, this study shows that a large majority of the programming tasks rather introduce the student to programming or to tasks requiring mere procedural skills, than to tasks that require problemsolving skills. Exponent had a comparatively large proportion of programming tasks for problem solving, with its 44%. Matematik 5000+ in turn presents a larger number of tasks for problem solving with their 18, which, however, corresponds to only 21% of the total 86 tasks.

Dagens matematikundervisning ska enligt läroplanen vara ett kommunikativt ämne. För att elevers matematiska kunskaper ska utvecklas behöver lärare planera för kommunikation samt tillåta ett kommunikativt klassrumklimat.  Matematikundervisning som präglas av ett formativt och kollaborativt arbetssätt gynnar elevers kunskapsutveckling. Syftet med observationsstudien är att undersöka hur olika tillvägagångssätt vid uträkningar av matematiska uppgifter kan ske genom ett kollaborativt arbetssätt och vad som påverkar elevernas matematiska resonemang. Frågeställningen är: Vad kan påverka elevernas matematiska resonemang vid ett kollaborativt arbetssätt i årskurs 1? Empirin har samlats in genom videoobservationer. Genom empirin analyserades nio teman fram som mynnade ut i fyra kategorier. Empirin som passade in i kategorierna transkriberades, därefter kunde resultat och analys skrivas fram. Resultat och analys har sedan diskuterats i relation till forskningsläget. Frågeställningen har besvarats genom en induktiv analys. Resultatet visar att användandet av ett formativt arbetssätt främjar elevers matematiska resonemang. Gruppdynamik och tillit är dessutom två viktiga faktorer som påverkar elevers resonemang. Resultatet visar också att lärares förarbete och lektionsmomentet är grundläggande för elevers matematiska resonemang. Ett förslag till vidare forskning är hur elevers lärande vid ett kollaborativt arbetssätt kan påverkas genom att elever får syn på sitt eget sätt att bemöta och resonera med sin omgivning.

Den här empiriska studien syftar till att undersöka elevernas reflektioner och frågor om språk i matematikundervisningen. Studien har utgått från klassrumsobservationer vid helklassundervisning och parintervjuer där elever fått lösa textbaserade uppgifter tillsammans. Analysen utgår från Cummins distinktion av vardagsspråk och kunskapsspråk, Realistic Mathematics Education, Deweys pragmatism och Vygotskijs språkteori. Slutsatserna av studien pekar på att det förekommer frågor om språk i matematikundervisningen som kan ha hög betydelse trots att frågornas språkinnehåll bedöms vara oviktigt. Dessutom visar studien en diskrepans mellan matematisk lösning och resonemang kring lösningen. Detta analyseras utifrån frågan om språket som kommunikativ funktion eller demonstrativ funktion. Studien bottnar i att matematiken byggs av såväl vardagsspråk som ämnesspråk. För att ha möjlighet att tillgodogöra sig matematiska problem att lösa behöver eleven förstå orden som används i exemplen, oavsett om det är matematiska eller vardagliga ord.

Med den kvalitativa metoden design-research har vi i vår studie, likt en bro kombinerat teori och praktik genom att genomföra tre lektioner, i en cyklisk process med en årskurs 3. Vårt syfte var att skapa förståelse för hur en lektionssekvens kan främja SUM-elevers inlärning av rimlighetsbedömning samt lämpligt val av  subtraktionsstrategi, genom inkludering i den ordinarie undervisningen. Lektionssekvensen har bestått av utvalda matematiska centrala moment, vilka skapat design-principer som varit lektionernas utgångspunkt. Dessa principer har prövats, efter analys förändrats och anpassats under studien gång. Vårt resultat visar att begreppsförståelse måste läras in på en konkret nivå, där uppgifter är anpassade efter elevens verklighet i ett känt sammanhang. Korta och tydliga genomgångar, samt modellering hjälper till med begreppsutveckling av uppskattning och rimlighetsbedömning. Studiens slutsats är att SUM-elever utvecklas bäst genom reflektion och resonemang, i par, där kamraten har något högre kunskapsnivå. Reflektion och resonemang ger djupare kunskap och begrepp kan då förstås i ett sammanhang. Läraren har en viktig roll genom att vara SUM-elevers tankestöd samt ställa kontrollfrågor av typen; ”Är det rimligt?” för att uppmana elever att tänka efter om exempelvis strategin eller svaret kan vara möjligt. Representationsformen tallinje har vi sett som ett viktigt redskap för att SUM-elever ska synliggöra sambandet mellan talen som ska subtraheras på ett konkret sätt, för att se om talen är nära och då förstå att strategin ”räkna uppåt” är mest lämplig att använda. De steg som skiljer dessa tal blir då enklare att räkna och eleverna har förutsättning att göra en rimlighetsbedömning.

I denna studie undersöktes hur några elever i en årskurs 4 resonerar kring likhetstecknet. Undersökningen gjordes med hjälp av kvalitativa intervjuer. Eleverna var valda och placerade på måfå i grupper där de sedan fick diskutera kring tre matematiska likheter. Studien visar på tendenser av relationell förståelse för likhetstecknet hos eleverna, men samtidigt problematiseras skillnaden mellan den relationella och den operationella förståelsen. Studien kommer fram till att eleverna diskuterar om uppgiftens konstiga utformning när operationen är på högra sidan av likhetstecknet och svaret är på den vänstra sidan. Eleverna hänvisar till kutym och läroböcker. Av studien framkommer det också att eleverna jämför likheterna ofta med balansvågen, både muntligt men också kroppsligt. Studien tenderar även att ge en bild av att elevers svar skiljer sig beroende på vilka uppgifterna är.

I denna studie undersöktes hur några elever i en årskurs 4 resonerar kring likhetstecknet. Undersökningen gjordes med hjälp av kvalitativa intervjuer. Eleverna var valda och placerade på måfå i grupper där de sedan fick diskutera kring tre matematiska likheter.Studien visar på tendenser av relationell förståelse för likhetstecknet hos eleverna, men samtidigt problematiseras skillnaden mellan den relationella och den operationella förståelsen. Studien kommer fram till att eleverna diskuterar om uppgiftens konstiga utformning när operationen är på högra sidan av likhetstecknet och svaret är på den vänstra sidan. Eleverna hänvisar till kutym och läroböcker. Av studien framkommer det också att eleverna jämför likheterna ofta med balansvågen, både muntligt men också kroppsligt. Studien tenderar även att ge en bild av att elevers svar skiljer sig beroende på vilka uppgifterna är.