In dieser Dissertation modellieren und analysieren wir scRNA-Seq-Daten, um Mechanismen, die biologischen Prozessen zugrunde liegen, zu verstehen In scRNA-Seq-Experimenten wird biologisches Rauschen mit technischem Rauschen vermischt. Mittels eines vereinfachten scRNA-Seq-Modells leiten wir eine analytische Verteilungsfunktion für die beobachtete Verteilung unter Kenntnis einer Ausgangsverteilung her. Charakteristiken und sogar ein allgemeines Moment der Ausgangsverteilung können aus der beobachteten Verteilung berechnet werden. Unsere Formeln stellen den Ausgangspunkt zur Quantifizierung von Zellvariabilität dar. Wir haben eine vollständig lineare Analyse von Transkriptomdaten entwickelt, die zeigt, dass sich Zellen während des Zellzyklus auf einer ebenen zirkulären Trajektorie im Transkriptomraum bewegen. In immortalisierten Zelllinien stellen wir fest, dass die Transkriptomdynamiken des Zellzyklus hauptsächlich unabhängig von den Dynamiken anderer Zellprozesse stattfinden. Unser Algorithmus (“Revelio”) bringt eine einfache Methode mit sich, um unsynchronisierte Zellen nach der Zeit zu ordnen und ermöglicht das exakte Entfernen von Zellzykluseffekten. Die Form der Zellzyklus-Trajektorie zeigt, dass der Zellzyklus sich dazu entwickelt hat, Änderungen der transkriptionellen Aktivitäten und der damit verbundenen regulativen Anstrengungen zu minimieren. Dieses Konstruktionsprinzip könnte auch für andere Prozesse relevant sein. Durch die Verwendung von metabolischer Molekülmarkierung erweitern wir Modelle zur mRNA-Kinetik, um dynamische mRNA-Ratenparameter für Transkription, Splicing und Degradation zu erhalten und die Lösungen auf den Zellzyklus anzuwenden. Wir zeigen, dass unser Modell zwischen Genen mit ähnlicher Genexpression aber unterschiedlicher Genregulation unterscheiden kann. Zwar enthalten scRNA-Seq-Daten aktuell noch zu viel technisches Rauschen, unser Modell wird jedoch für das zukünftige Errechnen von dynamischen mRNA-Ratenparametern von großem Nutzen sein. / In this dissertation, we model and analyse scRNA-seq data to understand mechanisms underlying biological processes. In scRNA-seq experiments, biological noise gets convoluted with various sources of technical noise. With the help of a simplified scRNA-seq model, we derive an analytical probability distribution function for the observed output distribution given a true input distribution. We find that characteristics and even general moments of the input distribution can be calculated from the output distribution. Our formulas are a starting point for the quantification of cell-to-cell variability. We developed a fully linear analysis of transcriptome data which reveals that cells move along a planar circular trajectory in transcriptome space during the cell cycle. Additionally, we find in immortalized cell lines that cell cycle transcriptome dynamics occur largely independently from other cellular processes. Our algorithm (“Revelio”) offers a simple method to order unsynchronized cells in time and enables the precise removal of cell cycle effects from the data. The shape of the cell cycle trajectory indicates that the cell cycle has evolved to minimize changes of transcriptional activity and their related regulatory efforts. This design principle may be of relevance to other cellular processes. By considering metabolic labelling, we extend existing mRNA kinetic models to obtain dynamic mRNA rate parameters for transcription, splicing and degradation and apply our solutions to the cell cycle. We can distinguish genes with similar expression values but different gene regulation strategies. While current scRNA-seq data contains too much technical noise, the model will be of great value for inferring dynamic mRNA rate parameters in future research.

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse von semi-expliziten Systemen aus stochastischen Differentialgleichungen (SDEs) gekoppelt mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs) und algebraischen Gleichungen (AEs) mit möglicherweise stochastischen Anteilen in den Operatoren. Diese Systeme spielen eine entscheidende Rolle bei der Modellierung von realen Anwendungen, wie zum Beispiel elektrischen Schaltkreisen und Gasnetzwerken. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht darin, einen Rahmen bereitzustellen, in dem diese semiexpliziten Systeme auch bei stochastischen Einflüssen in den algebraischen Randbedingungen eine eindeutige Lösung haben. Wir führen einen numerischen Ansatz für solche Systeme ein und schlagen eine neue Möglichkeit vor, um Konvergenzergebnisse von driftimpliziten Methoden für SDEs auf stochastische Differential-Algebraische Gleichungen (SDAEs) zu erweitern. Dies ist wichtig, da viele Methoden für SDEs gut entwickelt sind, aber im Allgemeinen nicht für SDAEs in Betracht gezogen werden. Darüber hinaus untersuchen wir praktische Anwendungen in der Schaltkreis- und Gasnetzwerksimulation und diskutieren die dabei auftretenden Herausforderungen und Einschränkungen. Insbesondere stellen wir dabei auch einen Modellierungsansatz für Gasnetzwerke bestehend aus Rohren und algebraischen Komponenten vor. Abschließend testen wir in beiden Anwendungsfeldern die numerische Konvergenz anhand konkreter Beispiele mit verschiedenen Arten von stochastischer Modellierung. / This dissertation delves into the analysis of semi-explicit systems of stochastic differential equations (SDEs) coupled with stochastic partial differential equations (SPDEs) and algebraic equations (AEs) with possibly noise-driven operators. These systems play a crucial role in modeling real-world applications, such as electrical circuits and gas networks. The main contribution of this work is to provide a setting in which these semi-explicit systems have a unique solution even with stochastic influences in the algebraic constraints. We introduce a numerical approach for such systems and propose a new approach for extending convergence results of drift-implicit methods for SDEs to stochastic differential-algebraic equations (SDAEs). This is important, as many methods are well-developed for SDEs but generally not considered for SDAEs. Furthermore, we examine practical applications in circuit and gas network simulation, discussing the challenges and limitations encountered. In particular, we provide a modeling approach for gas networks consisting of pipes and algebraic components. To conclude, we test numerical convergence in both application settings on concrete examples with different types of stochastic modeling.

Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) treten in einer Vielzahl mathematischer Modelle auf, welche komplexe Equilibrium-artige Phänomene aus den Natur- oder Sozialwissenschaften beschreiben. Obgleich ihrer vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten in Bereichen wie der Biologie, Kontinuumsmechanik, Physik, Geologie und Ökonomie sind Ergebnisse zur allgemeinen theoretischen und algorithmischen Lösung von QVIs in der Literatur eher rar gesät – insbesondere im unendlich-dimensionalen Kontext. Zentraler Gegenstand dieser Dissertation sind elliptische QVIs vom Hindernis-Typ mit einer zusätzlichen Volumen-Nebenbedingung, die durch ein vereinfachtes Modell eines nachgiebigen Hindernisses aus der Biomedizin motiviert werden. Aussagen zur Existenz von Lösungen werden durch die Charakterisierung der QVI als eine Fixpunkt Gleichung ermöglicht. Zur Lösung der betrachteten QVI selbst wird im Allgemeinen auf eine sequentielle Minimierungsmethode zurückgegriffen und eine Folge von Minimierungs- oder Variationsproblemen vom Hindernis-Typ betrachtet. In diesem Sinne ist für die numerische Behandlung der QVI die effiziente Lösung der auftretenden sequentiellen Probleme maßgeblich. Bei der Entwicklung geeigneter Lösungsmethoden wird insbesondere den Aspekten gitterunabhängige Verfahren sowie adaptive Diskretisierung des kontinuierlichen Problems mittels Finiter Elemente Rechnung getragen: Nach Anwendung der sequentiellen Minimierungsmethode auf die QVI werden die Hindernisprobleme durch eine Folge von Moreau–Yosida-regularisierten Problemen approximiert und anschliessend mit der nichtglatten (semismooth) Newton Methode und einer Pfadverfolgungsstrategie hinsichtlich des Yosida-Parameters gelöst. Die numerische Lösung erfolgt mittels einer adaptiver Finite Elemente Methode (AFEM), wobei die lokale Gitterverfeinerung auf a posteriori Residuen-basierten Schätzern des Approximierungsfehlers beruht. Numerische Experimente schließen die Arbeit ab. / Quasi-variational inequalities (QVIs) are used to describe complex equilibrium-type phenomena in many models in the natural and social sciences. Despite the abundance of different applications of QVIs—e.g., in biology, continuum mechanics, physics, geology, economics—there is only scarce literature on general theoretical and algorithmic approaches to solve problems involving QVIs particularly in infinite dimensions. This thesis focuses on elliptic obstacle-type QVIs with an additional volume constraint that are motivated by the simplified model of a compliant obstacle-type situation stemming from biomedicine. The first part of the thesis establishes existence of solutions to this type of QVIs under different sets of assumptions upon converting the problem to a fixed point equation. Unless the compliant obstacle map exhibits differentiability properties—in which case the problem can be regularised and solved directly in function space—the QVI can only be solved using a sequential variational or minimisation technique that leads to a sequence of obstacle-type problems. The ensuing parts of the thesis cover the efficient (numerical) solution of the emerging sequential problems where a major focus is on the aspects of mesh-independent performance of the solution method and the adaptive discretisation of the continuous problem based on finite elements. The obstacle-type problems resulting from using the sequential minimisation technique on the QVI are solved resorting to Moreau–Yosida-based approximation along with a semismooth Newton solver and a path-following regime for the sake of mesh-independence, which is subject of the second part. The corresponding discretised problems are solved with an adaptive finite element method (AFEM) that uses a posteriori residual-based error estimation techniques for Moreau–Yosida-based approximations of obstacle-type problems, the latter which are explored in the third part. The thesis concludes with numerical experiments.

In dieser Arbeit wird ein Algorithmus zur Lösung von endlichdimensionalen Optimierungsproblemen mit stückweise linearer Zielfunktion und stückweise linearen Nebenbedingungen vorgestellt. Dabei wird angenommen, dass die Funktionen in der sogenannten Abs-Linear Form, einer Matrix-Vektor-Darstellung, vorliegen. Mit Hilfe dieser Form lässt sich der Urbildraum in Polyeder zerlegen, so dass die Nichtglattheiten der stückweise linearen Funktionen mit den Kanten der Polyeder zusammenfallen können. Für die Klasse der abs-linearen Funktionen werden sowohl für den unbeschränkten als auch für den beschränkten Fall notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen bewiesen, die in polynomialer Zeit verifiziert werden können. Für unbeschränkte stückweise lineare Optimierungsprobleme haben Andrea Walther und Andreas Griewank bereits 2019 mit der Active Signature Method (ASM) einen Lösungsalgorithmus vorgestellt. Aufbauend auf dieser Methode und in Kombination mit der Idee der aktiven Mengen Strategie zur Behandlung von Ungleichungsnebenbedingungen entsteht ein neuer Algorithmus mit dem Namen Constrained Active Signature Method (CASM) für beschränkte Probleme. Beide Algorithmen nutzen die stückweise lineare Struktur der Funktionen explizit aus, indem sie die Abs-Linear Form verwenden. Teil der Analyse der Algorithmen ist der Nachweis der endlichen Konvergenz zu lokalen Minima der jeweiligen Probleme sowie die Betrachtung effizienter Berechnung von Lösungen der in jeder Iteration der Algorithmen auftretenden Sattelpunktsysteme. Die numerische Performanz von CASM wird anhand verschiedener Beispiele demonstriert. Dazu gehören akademische Probleme, einschließlich bi-level und lineare Komplementaritätsprobleme, sowie Anwendungsprobleme aus der Gasnetzwerkoptimierung und dem Einzelhandel. / This thesis presents an algorithm for solving finite-dimensional optimization problems with a piecewise linear objective function and piecewise linear constraints. For this purpose, it is assumed that the functions are in the so-called Abs-Linear Form, a matrix-vector representation. Using this form, the domain space can be decomposed into polyhedra, so that the nonsmoothness of the piecewise linear functions can coincide with the edges of the polyhedra. For the class of abs-linear functions, necessary and sufficient optimality conditions that can be verified in polynomial time are given for both the unconstrained and the constrained case. For unconstrained piecewise linear optimization problems, Andrea Walther and Andreas Griewank already presented a solution algorithm called the Active Signature Method (ASM) in 2019. Building on this method and combining it with the idea of the Active Set Method to handle inequality constraints, a new algorithm called the Constrained Active Signature Method (CASM) for constrained problems emerges. Both algorithms explicitly exploit the piecewise linear structure of the functions by using the Abs-Linear Form. Part of the analysis of the algorithms is to show finite convergence to local minima of the respective problems as well as an efficient solution of the saddle point systems occurring in each iteration of the algorithms. The numerical performance of CASM is illustrated by several examples. The test problems cover academic problems, including bi-level and linear complementarity problems, as well as application problems from gas network optimization and inventory problems.

Diese Dissertation untersucht Aspekte des Zusammenspiels von ergodischem Langzeitver- halten und der Glättungseigenschaft dynamischer Systeme, die von stochastischen Differen- tialgleichungen (SDEs) mit Sprüngen erzeugt sind. Im Speziellen werden SDEs getrieben von Lévy-Prozessen und der Marcusschen kanonischen Gleichung untersucht. Ein vari- ationeller Ansatz für den Malliavin-Kalkül liefert eine partielle Integration, sodass eine Variation im Raum in eine Variation im Wahrscheinlichkeitsmaß überführt werden kann. Damit lässt sich die starke Feller-Eigenschaft und die Existenz glatter Dichten der zuge- hörigen Markov-Halbgruppe aus einer nichtstandard Elliptizitätsbedingung an eine Kom- bination aus Gaußscher und Sprung-Kovarianz ableiten. Resultate für Sprungdiffusionen auf Untermannigfaltigkeiten werden aus dem umgebenden Euklidischen Raum hergeleitet. Diese Resultate werden dann auf zufällige dynamische Systeme angewandt, die von lin- earen stochastischen Differentialgleichungen erzeugt sind. Ruelles Integrierbarkeitsbedin- gung entspricht einer Integrierbarkeitsbedingung an das Lévy-Maß und gewährleistet die Gültigkeit von Oseledets multiplikativem Ergodentheorem. Damit folgt die Existenz eines Lyapunov-Spektrums. Schließlich wird der top Lyapunov-Exponent über eine Formel der Art von Furstenberg–Khasminsikii als ein ergodisches Mittel der infinitesimalen Wachs- tumsrate über die Einheitssphäre dargestellt. / The present thesis investigates certain aspects of the interplay between the ergodic long time behavior and the smoothing property of dynamical systems generated by stochastic differential equations (SDEs) with jumps, in particular SDEs driven by Lévy processes and the Marcus’ canonical equation. A variational approach to the Malliavin calculus generates an integration-by-parts formula that allows to transfer spatial variation to variation in the probability measure. The strong Feller property of the associated Markov semigroup and the existence of smooth transition densities are deduced from a non-standard ellipticity condition on a combination of the Gaussian and a jump covariance. Similar results on submanifolds are inferred from the ambient Euclidean space. These results are then applied to random dynamical systems generated by linear stochas- tic differential equations. Ruelle’s integrability condition translates into an integrability condition for the Lévy measure and ensures the validity of the multiplicative ergodic theo- rem (MET) of Oseledets. Hence the exponential growth rate is governed by the Lyapunov spectrum. Finally the top Lyapunov exponent is represented by a formula of Furstenberg– Khasminskii–type as an ergodic average of the infinitesimal growth rate over the unit sphere.

In dieser Arbeit betrachten wir das Strömungs-Diffusions-(Reaktions)-Problem für passive Markerteilchen, die in zweidimensionalen laminaren Strömungsmustern mit geringem thermischem Rauschen gelöst sind. Der deterministische Fluss umfasst Zellen in Form von Quadraten oder Katzenaugen. In ihnen tritt Rotationsbewegung auf. Einige der Strömungen bestehen aus wellenförmigen Bereichen mit gerader Vorwärtsbewegung. Alle Systeme sind entweder periodisch oder durch Wände begrenzt. Eine untersuchte Familie von Strömungen interpoliert kontinuierlich zwischen Reihen von Wirbeln und Scherflüssen. Wir analysieren zahlreiche numerische Simulationen, die bisherige theoretische Vorhersagen bestätigen und neue Phänomene offenbaren. Ohne Rauschen sind die Teilchen in einzelnen Bestandteilen des Flusses für immer gefangen. Durch Hinzufügen von schwachem thermischen Rauschen wird die normale Diffusion für lange Zeiten stark verstärkt und führt zu verschiedenen Diffusionsarten für mittlere Zeiten. Mit Continuous-Time-Random-Walk-Modellen leiten wir analytische Ausdrücke in Übereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen her, die je nach Parametern, Anfangsbedingungen und Alterungszeiten von subdiffusiver bis superballistischer anomaler Diffusion für mittlere Zeiten reichen. Wir sehen deutlich, dass einige der früheren Vorhersagen nur für Teilchen gelten, die an der Separatrix des Flusses starten - der einzige Fall, der in der Vergangenheit ausführlich betrachtet wurde - und dass das System zu vollkommen anderem Verhalten in anderen Situationen führen kann, einschließlich einem Schwingenden beim Start im Zentrum einesWirbels nach einer gewissen Alterungszeit. Darüber hinaus enthüllen die Simulationen, dass Teilchenreaktionen dort häufiger auftreten, wo sich die Geschwindigkeit der Strömung stark ändert, was dazu führt, dass langsame Teilchen von schnelleren getroffen werden, die ihnen folgen. Die umfangreichen numerischen Simulationen, die für diese Arbeit durchgeführt wurden, mussten jetzt durchgeführt werden, da wir die Rechenleistung dafür besitzen. / In this thesis, we consider the advection-diffusion-(reaction) problem for passive tracer particles suspended in two-dimensional laminar flow patterns with small thermal noise. The deterministic flow comprises cells in the shape of either squares or cat’s eyes. Rotational motion occurs inside them. Some of the flows consist of sinusoidal regions of straight forward motion. All systems are either periodic or are bounded by walls. One examined family of flows continuously interpolates between arrays of eddies and shear flows. We analyse extensive numerical simulations, which confirm previous theoretical predictions as well as reveal new phenomena. Without noise, particles are trapped forever in single building blocks of the flow. Adding small thermal noise, leads to largely enhanced normal diffusion for long times and several kinds of diffusion for intermediate times. Using continuous time random walk models, we derive analytical expressions in accordance with numerical results, ranging from subdiffusive to superballistic anomalous diffusion for intermediate times depending on parameters, initial conditions and aging time. We clearly see, that some of the previous predictions are only true for particles starting at the separatrix of the flow - the only case considered in depth in the past - and that the system might show a vastly different behavior in other situations, including an oscillatory one, when starting in the center of an eddy after a certain aging time. Furthermore, simulations reveal that particle reactions occur more frequently at positions where the velocity of the flow changes the most, resulting in slow particles being hit by faster ones following them. The extensive numerical simulations performed for this thesis had to be done now that we have the computational means to do so. Machines are powerful tools in order to gain a deeper and more detailed insight into the dynamics of many complicated dynamical and stochastic systems.

Das moderne Finanzsystem ist komplex, dynamisch, hochdimensional und oftmals nicht stationär. All diese Faktoren stellen große Herausforderungen beim Messen des zugrundeliegenden Finanzrisikos dar, das speziell für Marktteilnehmer von oberster Priorität ist. Hochdimensionalität, die aus der ansteigenden Vielfalt an Finanzprodukten entsteht, ist ein wichtiges Thema für Ökonometriker. Ein Standardansatz, um mit hoher Dimensionalität umzugehen, ist es, Schlüsselvariablen auszuwählen und kleine Koeffizientenen auf null zu setzen, wie etwa Lasso. In der Finanzmarktanalyse kann eine solche geringe Annahme helfen, die führenden Risikofaktoren aus dem extrem großen Portfolio, das letztendlich das robuste Maß für finanzielles Risiko darstellt, hervorzuheben. In dieser Arbeit nutzen wir penalisierte Verfahren, um die ökonometrischen Maße für das finanzielle Risiko in hoher Dimension zu schätzen, sowohl mit nieder-, als auch hochfrequenten Daten. Mit Fokus auf dem Finanzmarkt, können wir das Risikonetzwerk des ganzen Systems konstruieren, das die Identifizierung individualspezifischen Risikos erlaubt. / Modern financial system is complex, dynamic, high-dimensional and often possibly non-stationary. All these factors pose great challenges in measuring the underlying financial risk, which is of top priority especially for market participants. High-dimensionality, which arises from the increasing variety of the financial products, is an important issue among econometricians. A standard approach dealing with high dimensionality is to select key variables and set small coefficient to zero, such as lasso. In financial market analysis, such sparsity assumption can help highlight the leading risk factors from the extremely large portfolio, which constitutes the robust measure for financial risk in the end. In this paper we use penalized techniques to estimate the econometric measures of financial risk in high dimensional, with both low-frequency and high-frequency data. With focus on financial market, we could construct the risk network of the whole system which allows for identification of individual-specific risk.

The design of hydropower projects requires a comprehensive planning process in order to achieve the objective to maximise exploitation of the existing hydropower potential as well as future revenues of the plant. For this purpose and to satisfy approval requirements for a complex hydropower development, it is imperative at planning stage, that the conceptual development contemplates a wide range of influencing design factors and ensures appropriate consideration of all related aspects. Since the majority of technical and economical parameters that are required for detailed and final design cannot be precisely determined at early planning stages, crucial design parameters such as design discharge and hydraulic head have to be examined through an extensive optimisation process. One disadvantage inherent to commonly used deterministic analysis is the lack of objectivity for the selection of input parameters. Moreover, it cannot be ensured that the entire existing parameter ranges and all possible parameter combinations are covered. Probabilistic methods utilise discrete probability distributions or parameter input ranges to cover the entire range of uncertainties resulting from an information deficit during the planning phase and integrate them into the optimisation by means of an alternative calculation method. The investigated method assists with the mathematical assessment and integration of uncertainties into the rational economic appraisal of complex infrastructure projects. The assessment includes an exemplary verification to what extent the Random Set Theory can be utilised for the determination of input parameters that are relevant for the optimisation of hydropower projects and evaluates possible improvements with respect to accuracy and suitability of the calculated results. / Die Auslegung von Wasserkraftanlagen stellt einen komplexen Planungsablauf dar, mit dem Ziel das vorhandene Wasserkraftpotential möglichst vollständig zu nutzen und künftige, wirtschaftliche Erträge der Kraftanlage zu maximieren. Um dies zu erreichen und gleichzeitig die Genehmigungsfähigkeit eines komplexen Wasserkraftprojektes zu gewährleisten, besteht hierbei die zwingende Notwendigkeit eine Vielzahl für die Konzepterstellung relevanter Einflussfaktoren zu erfassen und in der Projektplanungsphase hinreichend zu berücksichtigen. In frühen Planungsstadien kann ein Großteil der für die Detailplanung entscheidenden, technischen und wirtschaftlichen Parameter meist nicht exakt bestimmt werden, wodurch maßgebende Designparameter der Wasserkraftanlage, wie Durchfluss und Fallhöhe, einen umfangreichen Optimierungsprozess durchlaufen müssen. Ein Nachteil gebräuchlicher, deterministischer Berechnungsansätze besteht in der zumeist unzureichenden Objektivität bei der Bestimmung der Eingangsparameter, sowie der Tatsache, dass die Erfassung der Parameter in ihrer gesamten Streubreite und sämtlichen, maßgeblichen Parameterkombinationen nicht sichergestellt werden kann. Probabilistische Verfahren verwenden Eingangsparameter in ihrer statistischen Verteilung bzw. in Form von Bandbreiten, mit dem Ziel, Unsicherheiten, die sich aus dem in der Planungsphase unausweichlichen Informationsdefizit ergeben, durch Anwendung einer alternativen Berechnungsmethode mathematisch zu erfassen und in die Berechnung einzubeziehen. Die untersuchte Vorgehensweise trägt dazu bei, aus einem Informationsdefizit resultierende Unschärfen bei der wirtschaftlichen Beurteilung komplexer Infrastrukturprojekte objektiv bzw. mathematisch zu erfassen und in den Planungsprozess einzubeziehen. Es erfolgt eine Beurteilung und beispielhafte Überprüfung, inwiefern die Random Set Methode bei Bestimmung der für den Optimierungsprozess von Wasserkraftanlagen relevanten Eingangsgrößen Anwendung finden kann und in wieweit sich hieraus Verbesserungen hinsichtlich Genauigkeit und Aussagekraft der Berechnungsergebnisse ergeben.

The design of hydropower projects requires a comprehensive planning process in order to achieve the objective to maximise exploitation of the existing hydropower potential as well as future revenues of the plant. For this purpose and to satisfy approval requirements for a complex hydropower development, it is imperative at planning stage, that the conceptual development contemplates a wide range of influencing design factors and ensures appropriate consideration of all related aspects. Since the majority of technical and economical parameters that are required for detailed and final design cannot be precisely determined at early planning stages, crucial design parameters such as design discharge and hydraulic head have to be examined through an extensive optimisation process. One disadvantage inherent to commonly used deterministic analysis is the lack of objectivity for the selection of input parameters. Moreover, it cannot be ensured that the entire existing parameter ranges and all possible parameter combinations are covered. Probabilistic methods utilise discrete probability distributions or parameter input ranges to cover the entire range of uncertainties resulting from an information deficit during the planning phase and integrate them into the optimisation by means of an alternative calculation method. The investigated method assists with the mathematical assessment and integration of uncertainties into the rational economic appraisal of complex infrastructure projects. The assessment includes an exemplary verification to what extent the Random Set Theory can be utilised for the determination of input parameters that are relevant for the optimisation of hydropower projects and evaluates possible improvements with respect to accuracy and suitability of the calculated results. / Die Auslegung von Wasserkraftanlagen stellt einen komplexen Planungsablauf dar, mit dem Ziel das vorhandene Wasserkraftpotential möglichst vollständig zu nutzen und künftige, wirtschaftliche Erträge der Kraftanlage zu maximieren. Um dies zu erreichen und gleichzeitig die Genehmigungsfähigkeit eines komplexen Wasserkraftprojektes zu gewährleisten, besteht hierbei die zwingende Notwendigkeit eine Vielzahl für die Konzepterstellung relevanter Einflussfaktoren zu erfassen und in der Projektplanungsphase hinreichend zu berücksichtigen. In frühen Planungsstadien kann ein Großteil der für die Detailplanung entscheidenden, technischen und wirtschaftlichen Parameter meist nicht exakt bestimmt werden, wodurch maßgebende Designparameter der Wasserkraftanlage, wie Durchfluss und Fallhöhe, einen umfangreichen Optimierungsprozess durchlaufen müssen. Ein Nachteil gebräuchlicher, deterministischer Berechnungsansätze besteht in der zumeist unzureichenden Objektivität bei der Bestimmung der Eingangsparameter, sowie der Tatsache, dass die Erfassung der Parameter in ihrer gesamten Streubreite und sämtlichen, maßgeblichen Parameterkombinationen nicht sichergestellt werden kann. Probabilistische Verfahren verwenden Eingangsparameter in ihrer statistischen Verteilung bzw. in Form von Bandbreiten, mit dem Ziel, Unsicherheiten, die sich aus dem in der Planungsphase unausweichlichen Informationsdefizit ergeben, durch Anwendung einer alternativen Berechnungsmethode mathematisch zu erfassen und in die Berechnung einzubeziehen. Die untersuchte Vorgehensweise trägt dazu bei, aus einem Informationsdefizit resultierende Unschärfen bei der wirtschaftlichen Beurteilung komplexer Infrastrukturprojekte objektiv bzw. mathematisch zu erfassen und in den Planungsprozess einzubeziehen. Es erfolgt eine Beurteilung und beispielhafte Überprüfung, inwiefern die Random Set Methode bei Bestimmung der für den Optimierungsprozess von Wasserkraftanlagen relevanten Eingangsgrößen Anwendung finden kann und in wieweit sich hieraus Verbesserungen hinsichtlich Genauigkeit und Aussagekraft der Berechnungsergebnisse ergeben.