SAMMANFATTNINGArbetets syfte var att undersöka vilka faktorer det är som påverkar lärare att använda eller inte använda laborativt material i sin matematikundervisning i förskoleklass till och med årskurs 3. Laborativ matematik innebär i detta arbete matematiklektioner där lärare och elever tar hjälp av någon form av konkret material, både vardagsmaterial och pedagogiskt material för att förstå och lösa problem inom ämnesområdet matematik. Undersökningen genomfördes med hjälp av enkäter till elva lärare i förskoleklass till årskurs 3 på tre olika skolor i en och samma kommun. Resultatet visar att samtliga av de lärare som svarade, alltid eller nästan alltid använder laborativt material i sin matematikundervisning, men inom vilka matematiska områden detta sker är varierande. Varför lärare i denna undersökning använder laborativt material eller inte på en lektion påverkas inte av vilken utbildning de har eller om de har någon vidareutbildning i matematik och inte heller av hur länge lärarna har undervisat, utan detta beror enligt lärarna själva på andra faktorer så som: elevens förståelse, tron på metoden, intresse/attityd hos lärare och elevers, tid/lektionens längd och gruppstorlek. Knappt ¾ av lärarna har deltagit i någon form av vidareutbildning i matematik. Alla lärarna som svarade ansåg dock att det laborativa materialet är självklart och nödvändigt för att eleverna ska få en djupare förståelse, då materialet visuellt kan konkretisera detabstrakta i matematiken. Lärarna ansåg också att det laborativa materialet bidrar till att eleverna lär med fler sinnen och att detta i sin tur gör att kunskapen fastnar lättare, matematiken blir även roligare. / ABSTRACTThe purpose with this survey was to examine which factors that influence teachers to use or not to use manipulatives in the mathematics education in preschool up to the third school year. In this form of education pupils and teachers use some form of concrete materials, manipulatives like stones, seashells and pearls or special pedagogic materials to understand and solve mathematical problems. The examination was made with questionnaires to 11 teachers in preschool to the third school year in three different schools, in the same district, in x –city, Sweden. The result shows that all of the teachers, always or almost always, use manipulatives n their mathematics education, but it varies depending on which type of mathematics. Whether teachers in this investigation use, or not use, manipulatives in a lesson is not influenced by education or further education, neither how long they have been teaching. According to the teachers this is instead influenced by; for the pupils understanding, belief in the method, interest/attitude by the teachers and pupils, time/length of lesson, and group size. Almost ¾ of the teachers had some form of further education in mathematics. All of the teachers however considered the use of manipulatives obvious and necessary for the pupils to get a deeper understanding, as the materials visually can make the abstract part in mathematics more concrete. The teachers’ means that manipulatives contribute to that the pupils learn with more senses, and it causes the knowledge to remain more easy, it also makes mathematics education more fun.

Studien syftar till att få kunskap om hur laborativt material och arbetssätt framhålls och behandlas inom området bråk i olika läromedel. Vidare undersöker vi även hur lärare undervisar laborativt utifrån dessa läromedel. För att samla in data har vi använt oss av metodtriangulering i form av granskning av läromedel och intervjuer. De läromedel som har granskats är Favorit matematik, Eldorado och Prima matematik. För att bredda kunskapen inom området intervjuades lärare som var aktiva användare av dessa läromedlen i sin undervisning. Med hjälp av variationsteorin har vi även analyserat de laborativa inslagen i läromedlen för att se på dess relevans i relation till variationsmönstrena kontrastering och generalisering och därmed hur elevers lärande främjas genom läromedlens föreslagna arbetssätt. Resultatet visar att de tre granskade läromedlen skiljer sig åt samtidigt som de har många likheter. Samtliga läromedel har tagit i beaktning att det laborativa materialet behöver ta plats i undervisningen på ett eller annat sätt. Dessa läromedel ger eleverna möjlighet att utforska med något slags laborativt material. Studiens slutsats blir således att vi kan se att läromedlen, på ett eller annat sätt, bidrar med laborativt material och arbetssätt. Utifrån variationsteorins sätt att se på lärande passar Eldorados laborativa arbetssätt bäst in på de variationsmönster vi granskat. / The study aims to gain knowledge about how laboratory material and working methods are highlighted and treated in the field of fraction in different teaching materials, and how teachers describe that they teach based on this. In order to collect data, we have used method triangulation in the form of examination of teaching material and interviews. The teaching materials that have been examined are Favorite Mathematics, Eldorado and Prima Mathematics. To broaden the knowledge in the field, teacher 's who were active users of these teaching materials were interviewed in their teaching. Using the theory of variation, we have also analyzed the laboratory elements in the teaching materials to look at its relevance in relation to the variation patterns of contrast and generalization and thus how pupils' learning is promoted through the proposed teaching methods. The result shows that the three study materials examined differ at the same time as they have many similarities. All teaching materials have taken into account that the laboratory material needs to take place in the teaching in one way or another. These teaching materials allow students to explore with some kind of laboratory material. The study's conclusion thus becomes that we can see that the teaching aids, in one way or another, contribute with laboratory material and working methods. Based on variation theory's approach to learning, Eldorado's laboratory approach fits best with the variation patterns we examined.

Syftet med denna empiriska studie är att undersöka utvecklingen av elevers förmåga att använda och transformera olika matematiska representationsformer genom att skapa en sekvens av lektioner. De matematiska representationsformerna som presenteras och analyseras i denna studie är bilder, laborativt material, text, matematiska symboler och verklighetsförankring. Learning Design Sequences är en modell som i den här studien ligger till grund för arbetet och används som både planerings- och analysverktyg. Lektionerna har planerats utifrån de tre stadierna i Learning Design Sequences, förutsättningar och iscensättning, första transformationscykeln och andra transformationscykeln. För denna studie har tre cykler skapats som bygger på varandra, där varje cyklisk process består av planering, genomförande och analys. Cyklerna består av lektioner utformade för att synliggöra transformering och formering i arbetet med matematiska representationsformer. Lektionerna planerades och genomfördes av författarna i en årskurs ett med 12 elever där undervisningsmaterial och ramar anpassades till den specifika kontexten. För att analysera och kunna dra slutsatser spelades lektionerna in på film i kombination med observation. Elevernas dokumenterade lösningar ligger också till grund för analys och slutsatser. Resultatet stärker tidigare forskning då de lektionssekvenser som skapats och genomförts i den här studien visats fungera i praktiken. Resultatet visar att lektionsstrukturen, utifrån Learning Design Sequences, varit till stor nytta och skapat möjligheter för eleverna att transformera och formera mellan olika matematiska representationsformer. Då resultatet visat att eleverna fått möjlighet och att de klarat genomföra transformeringar och formeringar kan slutsatsen dras att eleverna även visat tecken på lärande. En annan viktig slutsats som kan dras utifrån resultatet är att ett interaktivt arbete med matematiska representationsformer gynnar elevers lärande.

Previous research showed that the use of laboratory materials, cooperative learning or rich mathematical problems promotes problem solving teaching and has a significant role in student learning. That is why the intention of this study was to investigate how the three concepts are used in problem solving teaching and how they can promote this type of mathematics teaching. In order to produce results for the purpose of the study, eight interviews were conducted with eight active primary school teachers to answer the following questions: 1) How do teachers describe their use of laboratory material, cooperative learning and rich mathematical problems in problem-solving teaching? 2) What opportunities and difficulties do teachers see with the use of these concepts? The results showed that the integration of laboratory material in the form of everyday materials, pedagogical materials and digital materials in problem solving teaching has a positive impact on students' problem solving skills and contributes to increased interest in mathematics teaching. It also appeared that the use of these materials enables the students to understand the abstract mathematical content in a clear way. The results of the study showed that the use of cooperative teaching is beneficial for students' development in problem solving. Through this way of working, the students' participation and activity in the classroom is strengthened and increased, which contributes to the students being able to achieve a desired result together. The results analysis clarified that the use of certain criteria for rich mathematical problems are important and necessary to be met in problem solving, while other criteria may be difficult to meet. But previous research showed that all seven criteria for rich math problems are necessary in problem solving tasks.

Syftet med avhandlingen är att beskriva, analysera och förstå matematikundervisning på lågstadiet. Mer precist är syftet att undersöka vad denna undervisning ger elever i några klassrum möjlighet att lära då undervisningsinnehållet är skriftliga räknemetoder för addition och  ubtraktion. Centrala frågor är vad lärare och elever gör i matematikklassrummet och vad eleverna, som en följd av undervisningen har möjlighet att lära. En fältstudie har genomförts i fem klasser med början på våren i år 2 och fortsättning under hösten i år 3. Sammanlagt 24 lektioner har videofilmats. Materialet har analyserats i två etapper, med början i en empiri nära, tematisk analys. Verksamhetsteorin är teoretisk utgångspunkt och analysverktyget som inspirerats av Engeströms modell för verksamhetssystem har varit vägledande i den andra etappen av analysen. Resultatet visar fyra typer av undervisningsverksamheter i matematik, vilka resulterar i möjligt lärande som varierar i förhållande till de förmågemål som anges i Lgr11. Det framgår också att de utmärkande metoder som lärare och elever använder kan ordnas i fem grupper, i huvudsak beroende på vilka kunskapsaspekter metoderna riktas mot. Det gäller metoder där procedurer, begrepp och samband, matematisk kommunikation och resonemang samt intresse och tilltro är i centrum, tillsammans med metoder som bidrar till stötestenar, vilka innebär utmaningar för både lärare och elever. Resultatet diskuteras mot bakgrund av forskning om undervisning och lärande i matematik med inriktning mot språklig kommunikation, användning av laborativt material, klassrumskultur och klassrumsorganisation. / The aim of this study is to describe, analyse and understand teaching of mathematics in lower primary school. More precisely, the aim is to investigate what this teaching offers pupils in some classrooms in terms of learning, when the content of teaching is written calculation methods for addition and subtraction. Teachers’ and pupils’ activities are in focus, as well as what it is possible for the pupils to learn as a consequence of these activities. Collection of data has been carried out in five classes, starting in spring when the pupils were in second grade and finished by the end of the autumn, when the pupils were in third grade. The video-recorded material comprises a total of 24 lessons. The collected research material has been analysed in two steps, where the first step can be described as empirically oriented and thematical. The theoretical perspective is Activity theory (CHAT) and an analysing tool, inspired by Engeström’s model has guided the second step of the analysis. The result demonstrates four types of teaching activities in mathematics, which leads to possible learning that varies in relation to the educational goals set in the curriculum (Lgr11). It is also shown that teachers and pupils make use of a variety of characteristic methods, which can be sorted into five groups, primarily based on ability aspects that are actualised by different methods. These are methods, where (1) procedures, (2) concepts and connections, (3) mathematical communication and reasoning, and (4) interest and confidence are in focus. There is also a fifth group, but it deviates from the others, as it consists of methods that contribute to (5) stumbling blocks, which in turn means that they become challenges for teachers as well as pupils. The results are discussed in relation to other research about teaching and learning mathematics.