In this thesis, we propose an ε-Stokes problem connecting the Stokes problem and the corresponding pressure-Poisson equation using one pa- rameter ε > 0. We prove that the solution to the ε-Stokes problem, converges as ε tends to 0 or ∞ to the Stokes and pressure-Poisson prob- lem, respectively. Most of these results are new. The precise statements of the new results are given in Proposition 3.5, Theorem 4.1, Theorem 5.2, and Theorem 5.3. Numerical results illustrating our mathematical results are also presented. / STINT (DD2017-6936) "Mathematics Bachelor Program for Efficient Computations"

Syftet med studien var att synliggöra hur lärande kan uppstå i arbete med problemlösningsuppgifter i årskurs tre samt om och i så fall hur användning av laborativt material kan bidra till detta lärande.   Studien bygger på observationer som bearbetades med hjälp av den sociokulturella teorin. Begreppen mediering, artefakter och elevers lärande är centrala i studien. Utöver detta behandlas även problemlösning och laborativt material i diskussionen.    Resultatet visade att användandet av laborativt material i samband med problemlösning kunde bidra till elevernas lärande. Vilket laborativt material som används för specifika uppgifter hade dock en påverkan på om och hur materialet användes. Dessutom visade resultatet att den kommunikation som skedde under tiden för lösningen också bidrog till elevernas lärande. Resultatet visade också att lärande kan synas på många olika sätt och att elever medierar och lär på olika sätt.

This thesis is devoted to an investigation of boundedness of a general convolution operator between certain weighted Lorentz-type spaces with the aim of proving analogues of the Young convolution inequality for these spaces. Necessary and sufficient conditions on the kernel function are given, for which the convolution operator with the fixed kernel is bounded between a certain domain space and the weighted Lorentz space of type Gamma. The considered domain spaces are the weighted Lorentz-type spaces defined in terms of the nondecreasing rearrangement of a function, the maximal function or the difference of these two quantities. In each case of the domain space, the corresponding Young-type convolution inequality is proved and the optimality of involved rearrangement-invariant spaces in shown. Furthermore, covering of the previously existing results is also discussed and some properties of the new rearrangement-invariant function spaces obtained during the process are studied. / <p>Paper II was a manuscript at the time of the defense.</p>

Det här examensarbetet fokuserar på tallinjens och taluppfattningens relation till varandra och hur den relationen har en viktig del i elevers matematiska utveckling. Forskning visar på att undervisning baserat på tallinjen har potential att skapa en bro mellan det abstrakta och konkreta i skolans matematikundervisning och på så vis hjälpa elever utveckla sin taluppfattning. En god taluppfattning är en viktig faktor för att elever ska kunna skapa en djup förståelse för matematik. Genom att utveckla elevers taluppfattning, med hjälp av tallinjen som ett redskap, får elever förutsättningar att skapa en god förståelse för tal och tals relation till varandra. En sådan förståelse ger en stabil grund för vidare matematisk utveckling och underlättar för elever att lära sig mer avancerad matematik under deras senare år i skolan. Forskning har visat att genom att inkludera tallinjen som ett naturligt redskap i matematikundervisningen får elever möjlighet att utveckla en mental tallinje, vilken hjälper eleverna att utveckla sin taluppfattning. Den här studien har därför genom intervjuer och observationer undersökt, utifrån ett lärarperspektiv, hur relationen mellan tallinjen och taluppfattningen tas i beaktning i matematikundervisning under elevernas första år i skolan. Utifrån den inblick som de två deltagande grundskollärarna har gett framkommer det att tallinjen ges utrymme i elevernas matematikundervisning och att grundskollärarna anser att tallinjen har potential att på flera sätt agera som ett hjälpmedel för att eleverna ska få möjlighet att skapa en större förståelse för taluppfattning, men även för att skapa förutsättningar att förstå mer avancerad matematik senare i sin skolgång. Studiens resultat har visat på att grundskollärarna upplever att tallinjen har potential att utveckla elevers taluppfattning. Under de genomförda observationerna har det även noterats att undervisning genom tallinjen har förmågan att ge utrymme för utvecklandet av flera olika förmågor vilka är grunden för en grundläggande taluppfattning. / <p>Matematikdidaktik</p>

BakgrundMatematik är något som finns omkring oss hela tiden. Förskolans läroplan har under år 2010 blivit reviderad och blivit mer tydlig i vad både förskollärare och förskolans arbetslag skall sträva efter för att utveckla barnen inom matematisk begreppsbildning. Barn stöter på matematik i vardagen när de leker och använder sig av olika material, vid dukning och när de äter. Men för att barnen skall förstå att det är matematik de håller på med, behöver pedagogerna ha på sig sina ”matematikglasögon” och synliggöra matematiken i vardagen på ett lustfyllt sätt.SyfteSyftet med denna undersökning är att ta reda på i vilka vardagliga situationer som några förskollärare anser att de stimulerar barns matematiska begreppsbildning, vilka material som används vid dessa tillfällen och vilka kunskaper som de menar att barnen får möjlighet att utveckla.MetodVi har valt att använda oss av kvalitativ metod. Det redskap som vi har använt oss av i studien är kvalitativ intervju, där sex förskollärare på sex olika förskolor har intervjuats.ResultatResultatet i studien visar på att förskollärarna anser att tambursituationer, samlingssituationer, matsituationer och skogssituationer kan stimulera barnens matematiska begreppsbildning. De material som förskollärarna menar att de använder för att stimulera matematisk begreppsbildning är bland annat frukt, ytterkläder, stövlar, byggklossar, egengjorda material och naturens material. De matematiska kunskaper som förskollärarna anser att barnen för möjlighet att utveckla i de olika situationerna och med hjälp av de olika materialen är bland annat vikt, antal, volym, bråk, geometriska former, jämförelse, sortering och räkning. / Program: Lärarutbildningen

BakgrundUnder denna del av uppsatsen kommer vi att redogöra för studier som ligger till grund för vår undersökning och som är adekvat för vårt syfte. I vardagen finns det många bra tillfällen att ta till vara på matematik som till exempel dukning, samling och genom leken med mera. För att barnen skall få en bra matematisk kunskapsgrund är det viktigt att förskollärarna synliggör matematiken i förskolan på ett roligt och lustfyllt sätt.SyfteSyftet med studien är att ta reda på hur några förskollärare i förskolan uppfattar matematisk begreppsbildning. Studien kommer även att behandla hur de beskriver vilka metoder de använder sig av samt hur de säger att matematiken görs synlig för barnen.MetodVi har valt att använda oss av kvalitativ metod. Det verktyg som vi har använt oss av i studien är kvalitativ intervju, där åtta förskollärare på tre olika förskolor har intervjuats.ResultatResultatet i vår studie visar att förskollärarna finner att förskolans vardagliga situationer som till exempel: matsituationen där barnen räknar ut hur många köttbullar de kan ta, under samlingen när barnen räknar antal deltagande barn, utevistelse där förskollärare använder skogsmiljö för att lära ut matematisk termologi och påvisar skillnader inom längd, storlek och vikt kan inspirera barnens utveckling av matematisk begrepps bildning. De undervisnings metoder pedagogerna använder vid utlärningen av matematisk begreppsbildning är på många sätt lika och bygger på samma principer, att göra matematiken lustfylld samt att använda sig av barnens nyfikenhet. Förskollärarna tycker att de matematiska begrepps bildning som barnen ska ha med sig vidare till skolan är vikt, antal, volym, geometriska former, räkning, sortering, jämförelse och bråk. / Program: Lärarutbildningen

Matematik har under lång tid ansetts vara ett maskulint kodat ämne vilket märks både i utbildningar och yrkesliv där en högre andel män än kvinnor återfinns. Elever ska efter genomgången grundskola kunna göra väl underbyggda val av utbildning och yrke. Då jämställdhet i Läroplanen lyfts fram som ett av skolans ansvarsområden är det intressant att se vilka föreställningar om matematisk subjektivitet som elever i de lägre åldrarna har. Syftet med studien var att få en bild av dessa föreställningar samt hur elever ser på sin egen subjektivitet. Med hjälp av poststrukturalistisk feministisk teori möjliggörs studien. Undersökningen har genomförts med semistrukturerade fokusgruppsintervjuer innehållande en bilduppgift med 27 elever i årskurs 3. Analys av materialet har skett genom transkribering av de inspelade ljudupptagningarna samt informanternas bilder av matematiska personer. Resultatet visar att individens eget arbete ansågs vara den främsta orsaken till varför en del elever och vuxna är matematiska. Genus sågs inte som en bidragande faktor vilket överensstämmer med forskning som visar att detta har betydelse i högre årskurser. Risken med att elever anser att individuella orsaker är avgörande kan bli att de upplever att de själva upplever att de bär ansvaret för sin matematiska framgång. / Mathematics has been considered a masculine coded subject for a long time which is evident in both educational programs as well as in professional life, which consists of a higher proportion of men than women. After completing elementary school, students should be able to make well-informed choices of education and occupation. As equality is highlighted as one of the compulsory school’s responsibilities in the Curriculum, it is interesting to see which notions of mathematical subjectivity pupils of the lower ages have. The purpose of this study was to explore these beliefs and how students view their own subjectivity. The study was made possible by using poststructuralist feminist theory. The survey was conducted with semi-structured focus group interviews including a picture assignment given to 27 third grade pupils. Analysis of the material was made using transcripts of sound recordings and informants' images of mathematical persons. The findings show that the individual's own work was considered to be the primary reason why some pupils and adults are mathematical. Gender was not considered to be a contributing factor, consistent with research showing that this is important in later grades. The risk that pupils think individual causes are decisive may be that they feel that they themselves are responsible for their own mathematical success.

Den här kvalitativa studiens utgångspunkt är att ta reda på hur pedagoger i dagens skola uppmärksammar och ger stimulans till elever med fallenhet för matematik under de tre första skolåren. Syftet är att redogöra för pedagogers beskrivningar om hur de identifierar och stimulerar dessa elever. Studien genomfördes i form av en webbenkät med öppna frågor och riktade sig till pedagoger som undervisar i matematik i årskurs 1-3. I den tidigare forskningen kring särskild begåvning framkommer det att elever med fallenhet i teoretiska ämnen är svåra att upptäcka och identifiera. Det framkommer även att det finns olika sätt att definiera dessa elever såsom högpresterande, särbegåvade och elever med särskild matematisk förmåga. I resultatet kommer det fram att pedagogernas definitioner av fallenhet nästintill uteslutande kan kopplas till vad som kännetecknar en högpresterande elev. Likaså framkommer det att pedagogerna kan redogöra för hur de utmanar de identifierade eleverna i matematikundervisningen men ändå är det deras största utmaning att genomföra det i önskad utsträckning på grund av deras upplevda tidsbrist. Studiens resultat visar att såväl ändring i skollagen, tidigare forskning och stödmaterial som har gjorts kring elever med fallenhet inte har nått fullt ut till alla pedagoger i dagens skola. Slutsatsen är att myten ”duktiga elever klarar sig själva” till viss del lever kvar i dagens klassrum i Sverige.

<p>In regression with near collinear explanatory variables, the least squares predictor has large variance. Ordinary least squares regression (OLSR) often leads to unrealistic regression coefficients. Several regularized regression methods have been proposed as alternatives. Well-known are principal components regression (PCR), ridge regression (RR) and continuum regression (CR). The latter two involve a continuous metaparameter, offering additional flexibility.</p><p>For a univariate response variable, CR incorporates OLSR, PLSR, and PCR as special cases, for special values of the metaparameter. CR is also closely related to RR. However, CR can in fact yield regressors that vary discontinuously with the metaparameter. Thus, the relation between CR and RR is not always one-to-one. We develop a new class of regression methods, LSRR, essentially the same as CR, but without discontinuities, and prove that any optimization principle will yield a regressor proportional to a RR, provided only that the principle implies maximizing some function of the regressor's sample correlation coefficient and its sample variance. For a multivariate response vector we demonstrate that a number of well-established regression methods are related, in that they are special cases of basically one general procedure. We try a more general method based on this procedure, with two meta-parameters. In a simulation study we compare this method to ridge regression, multivariate PLSR and repeated univariate PLSR. For most types of data studied, all methods do approximately equally well. There are cases where RR and LSRR yield larger errors than the other methods, and we conclude that one-factor methods are not adequate for situations where more than one latent variable are needed to describe the data. Among those based on latent variables, none of the methods tried is superior to the others in any obvious way.</p>

<p>I denna avhandling studerar vi nödvändiga och tillräckliga villkor för svag konvergens av första-sällan-händelsetider för semi-Markovska processer.</p><p>I introduktionen ger vi nödvändiga grundläggande definitioner och beskrivningar av modeller som betraktas i avhandlingen, samt ger några exempel på situationer i vilka metoder av första-sällan-händelsetider kan vara lämpliga att använda. Dessutom analyserar vi publicerade resultat om asymptotiska problem för stokastiska funktionaler som definieras på semi-Markovska processer.</p><p>I artikel A betraktar vi första-sällan-händelsetider för semi-Markovska processer med en ändlig mängd av lägen. Vi ger också en sammanfattning av våra resultat om nödvändiga och tillräckliga villkor för svag konvergens, samt diskuterar möjliga tillämpningar inom aktuarie-området.</p><p>I artikel B redovisar vi i detalj de resultat som annonseras i artikel A och bevisen för dem. Vi ger också nödvändiga och tillräckliga villkor för svag konvergens av första-sällan-händelsetider för semi-Markovska processer med en ändlig mängd av lägen i ett icke-triangulärt tillstånd. Dessutom beskriver vi med hjälp av Laplacetransformationen klassen av alla möjliga gränsfördelningar.</p><p>I artikel C studerar vi villkor av svag konvergens av flöden av sällan-händelser i ett icke-triangulärt tillstånd. Vi formulerar nödvändiga och tillräckliga villkor för konvergens, och beskriver klassen av alla möjliga gränsflöden. Vi tillämpar också våra resultat i asymptotisk analys av icke-ruin-sannolikheten för störda riskprocesser.</p><p>I artikel D ger vi nödvändiga och tillräckliga villkor för svag konvergens av första-sällan-händelsetider för semi-Markovska rocesser med en ändlig mängd av lägen i ett triangulärt tillstånd, samt beskriver klassen av alla möjliga gränsfördelningar. Resultaten utvidgar slutsatser från artikel B till att gälla för ett allmänt triangulärt tillstånd.</p><p>I artikel E ger vi nödvändiga och tillräckliga villkor för svag konvergens av flöden av sällan-händelser för semi-Markovska processer i ett triangulärt tillstånd. Detta generaliserar resultaten från artikel C till att beskriva ett allmänt triangulärt tillstånd. Vidare ger vi tillämpningar av våra resultat på asymptotiska problem av störda riskprocesser och till kösystemen med snabb service.</p> / <p>In this thesis we study necessary and sufficient conditions for weak convergence of first-rare-event times for semi-Markov processes, we describe the class of all possible limit distributions, and give the applications of the results to risk theory and queueing systems.</p><p>In paper <b>A</b>, we consider first-rare-event times for semi-Markov processes with a finite set of states, and give a summary of our results concerning necessary and sufficient conditions for weak convergence of first-rare-event times and their actuarial applications.</p><p>In paper <b>B</b>, we present in detail results announced in paper <b>A</b> as well as their proofs. We give necessary and sufficient conditions for weak convergence of first-rare-event times for semi-Markov processes with a finite set of states in non-triangular-array mode and describe the class of all possible limit distributions in terms of their Laplace transforms.</p><p>In paper <b>C</b>, we study the conditions for weak convergence for flows of rare events for semi-Markov processes with a finite set of states in non-triangular array mode. We formulate necessary and sufficient conditions of convergence and describe the class of all possible limit stochastic flows. In the second part of the paper, we apply our results to the asymptotical analysis of non-ruin probabilities for perturbed risk processes.</p><p>In paper <b>D</b>, we give necessary and sufficient conditions for the weak convergence of first-rare-event times for semi-Markov processes with a finite set of states in triangular array mode as well as describing the class of all possible limit distributions. The results of paper <b>D</b> extend results obtained in paper <b>B</b> to a general triangular array mode.</p><p>In paper <b>E</b>, we give the necessary and sufficient conditions for weak convergence for the flows of rare events for semi-Markov processes with a finite set of states in triangular array case. This paper generalizes results obtained in paper <b>C</b> to a general triangular array mode. In the second part of the paper, we present applications of our results to asymptotical problems of perturbed risk processes and to queueing systems with quick service</p>