För att numeriska uttryck inte ska tolkas på olika sätt finns det så kallade prioriteringsregler som bestämmer räkneoperationers ordningsföljd. Matematikdidaktisk forskning har dock visat att elever har svårigheter att följa prioriteringsregler och strukturer i matematiska uttryck. Eleverna tenderar att följa okonventionella regler som helt enkelt är egenkonstruerade. Denna studie är en re-analys av data från en tidigare studie och syftar till att undersöka hur elever i årskurs 5 strukturerar och bokför sina beräkningar av numeriska uttryck där prioriteringsregler behöver tillämpas. Data för studien är lösningar från 123 elever, vilket innehåller svar på fyra olika uppgifter presenterade på ett arbetsblad, alltså totalt 492 elevlösningar. Analysen utgår från vad tidigare forskning har visat för tendenser elever har när de beräknar numeriska uttryck. Dessa beteenden har sedan grupperats i olika aspekter för att finna likheter och skillnader i hur elever tar sig an matematiska operationer. Deltagarna utgjordes av elever från fem olika skolor. Genom analysen kunde det identifieras att elever följde prioriteringsregler på kvalitativt skilda sätt och att många gjorde detta på ett inkonsekvent vis genom de fyra uppgifterna. Flertalet av deltagarna visade brister i att strukturera beräkningar på ett konventionellt vis. Orsaken kan diskuteras i att härstamma från att eleverna saknar något som i internationell matematikdidaktisk forskning kallas för ”structure sense”, vilket innebär en förståelse av matematiska strukturer. / For numerical expressions not to be interpreted in different ways, there are so-called order of operations that determine the order of arithmetic operators. In mathematics didactic research, it has been displayed that pupils have difficulty following arithmetic rules and structures in mathematical expressions. Pupils tend to follow unconventional rules that are simply self-constructed. This study is a re-analysis of data from a previous study and aims to investigate how pupils in year 5 structure and keep track of calculations of numerical expressions where rules for the order of operations needs to be applied. The data analysis is based on solutions from 123 pupils on four different tasks, thus 492 solutions in total. The participants were pupils in year 5 from five different Swedish schools. The analysis is based on what previous research has shown that tendencies pupils have when they calculate numerical expressions. These behaviors have then been grouped into different aspects to find similarities and differences in how pupils approach mathematical operators. Through the analysis, it could be identified that pupils followed arithmetic rules in qualitatively different ways and that many did so in an inconsistent manner through the four tasks. Actually, most participants could not structure their calculations in a conventional way. The reason can be discussed that it descends from the fact that the pupils lack something which in international mathematics didactic research is called “structure sense”, which means an understanding of mathematical structures.

Lic.-avh. Uppsala : Univ., 2004. / Härtill 4 uppsatser.

Diss. (sammanfattning) Uppsala : Univ., 2004. / Härtill 8 uppsatser.

Diss. (sammanfattning) Uppsala : Uppsala universitet, 2005. / Härtill 5 uppsatser.

För att reducera risken för temperatursprickor vid motgjutningar kan motgjutna betongkonstruktioner värmas upp för att minska de temperaturdifferenser som orsakar temperatursprickorna. Inom anläggningsbyggandet är ingjutna värmekablar den vanliga metoden för att åstadkomma detta. Två nackdelar med värmekablarna är dels att de måste förberedas för och gjutas in vid en tidigare gjutning, dels att de kan gå sönder vid gjutningen och därmed bli obrukbara. Som ett alternativ och komplement till värmekablarna utformades och producerades under 2014 en ny typ av värmematta avsedd för uppvärmning av betongkonstruktioner. Denna nya värmematta är uppbyggd på samma sätt som så kallade tjältiningsmattor men har en lägre elektrisk effekt. Tack vare den lägre effekten ska den utan att överhettas kunna användas kontinuerligt i ett antal dagar och på så vis öka medeltemperaturen i betongen. I detta arbete undersöks vilken uppvärmande funktion värmemattan har på den underliggande betong som ska värmas upp. Detta undersöktes i fyra fältförsök genom temperaturmätningar på olika höjder i de betongkonstruktioner som värmdes upp. Försöken gjordes på bottenplattor och valv och värmemattorna täcktes vid försöken med 10 mm betongtäckmatta av cellplast. Försöken genomfördes i både soligt och torrt samt molnigt och regnigt väder. Mätdata från dessa försök användes sedan för att ta fram ett förslag för hur värmemattans uppvärmande funktion kan modelleras i programmet Contest. Detta förslag presenteras i avsnitt 5.1.2och är det huvudsakliga resultatet av detta arbete. Det kan användas för att inkludera värmemattans funktion vid bedömningar av sprickrisk i Contest. I denna uppsats beskrivs också två verkliga gjutningar av en tunnelkonstruktion där värmemattan använts som sprickbegränsande åtgärd. Slutligen gjordes en ekonomisk betraktelse av värmemattan som sprickriskbegränsande åtgärd där den jämfördes med alternativet att använda värmekablar. Slutsatsen av denna uppsats är att värmemattans uppvärmande funktion på ett enkelt och ändamålsenlig sätt kan modelleras i programmet Contest genom den metod som föreslås. I förslaget tas hänsyn till att nederbörd och solstrålning påverkar uppvärmningen. Därför kan den verkliga uppvärmningen bli högre än vad som erhålls med förslaget, som ger en uppvärmning på den säkra sidan. Denna konservativa, medvetet något lågt bedömda uppvärmning motsvarar den som fås av konventionella värmekablar monterade på överkantsarmering med 40 cm c/c-avstånd. Ur ekonomisk synvinkel innebär ett inköp av värmemattor en relativt stor initial investeringskostnad jämfört med värmekablar. Värmemattan som metod är därför dyrare initialt, men blir så småningom lönsam eftersom värmemattan kan återanvändas ett stort antal gånger. Utifrån de ekonomiska antaganden som gjordes i denna uppsats var värmemattorna billigare än värmekablarna efter ungefär 30 gångers användning. / In order to reduce the risk of thermal cracks in a concrete structure it is recommended to reduce the temperature differences between already existing concrete parts and the newly cast parts. Therefore, adjacent and already cast parts of the structure are sometimes heated up prior to casting of a new concrete part. This reduces the temperature differences within the structure and thus the risk of thermal cracks. This heating is generally done via heating cables placed in the concrete. This method has two drawbacks: firstly, one has to plan for the heating cables in an early stage and secondly, the cables sometimes break when cast in. As an alternative and compliment to the heating cables, a new type of heating mat for heating of concrete structures was designed and produced during 2014. It is built the same way as frost thawing mats but has a lower electrical effect to avoid overheating when heating the concrete. The main subject that is investigated in this thesis is the effect the heating mat has on the underlying concrete. This was investigated in four field trials by measuring the temperature in concrete members while heating them up with the heating mats. The field trials were effected on concrete slabs and vaults and the heating mats were covered with a concrete curing mat made of 10 mm cellular plastic. The field trials were conducted in sunny and dry conditions as well as in cloudy and rainy conditions. Data from the field trials were used to produce a proposal on how to model the heating mat’s warming effect in Contest. This proposal is presented in Section 5.1.2and is the main result of this thesis. It can be used to include the heating mat’s effect in simulations to estimate thermal crack risks in Contest. In addition, two real castings of a tunnel structure are described in which heating mats were used to reduce the risk for thermal cracks. These two castings are studied regarding the risk for thermal cracking. Finally, an economical comparison is made where using heating mats is compared to using heating cables. The conclusion of this thesis is that the warming effect of the heating mat can be modeled in Contest in a simple and appropriate manner according to the proposed method. The proposed method considers that precipitation and sunshine influence the heating of the concrete. The actual temperature rise in the heated concrete might therefore be greater than what is obtained using the method in Contest, which gives a rise in temperature on the safe side. This conservative, slightly low estimation of the rise in temperature corresponds to using heating cables mounted on the upper reinforcement with a c / c distance of 40 cm. From an economic point of view, the purchase of heating mats means a relatively important initial investment cost compared to heating cables. Using heating mats instead of heating cables is therefore initially more expensive, but will eventually be profitable since the heating mats are not consumed. Based on the economic assumptions made in this thesis the heating mat was less expensive than heating cables if used more than about 30 times.

Betongplattor på mark är en ofta använd grundläggningsmetod. Trots detta är sprickbildning ett vanligt problem där kraven på maximala sprickvidder ofta inte uppfylls. De sprickor som bildas i plattorna uppkommer bl.a. till följd av dess uttorkning, och då olika fuktförhållanden råder på var sida om plattan utvecklas en krympning som varierar med en gradient över tvärsnittet. Vid dimensionering av armeringen för denna inre last och sprickbildningen den orsakar, finns endast otillräckliga analysermetoder att tillgå i normer. Att analysera det tvång som uppstår vid krympningen är mycket svårt, speciellt då betongen spricker och lastfallet blir statiskt obestämt. I detta arbete undersöks sprickbildningen i krympande betongplattor på mark så att noggrannare dimensionering av den sprickfördelande armeringen skall kunna utföras. Analyserna har utförts med numeriska simuleringar i FEM-programmet Atena 2D där ett antal olika plattor med varierande betongklass, armeringsinnehåll och platthöjd undersökts. Arbetet omfattar en jämförelse av de erforderliga sprickfördelande armeringsinnehållen samt de analytiskt beräknade sprickvidder som erhålls dels enligt huvuddokumentet för Eurokod 2 och dels enligt huvuddokumentet och den tyska nationella bilagan. Armeringen har då dimensionerats utifrån en spänningsfördelning som varierar linjärt över tvärsnittet, på samma sätt som krympningen varierar. Studien behandlar även en jämförande undersökning av sprickutvecklingen vid inre respektive yttre last för att påvisa skillnader i sprickbeteendet. De numeriska simuleringarna visade att en ökad sprickfördelande förmåga och en minskning av sprickvidder erhålls då armeringsinnehållet i en platta ökas. Av de undersökta plattorna nås armeringens flytspänning inte i något fall, vilket tyder på att mängden armering kan minskas ytterligare utan att s.k. single cracks uppstår. Även vid underarmering, då armeringen minskas till 64 % av vad Eurokods huvuddokument anger, behålls den sprickfördelande funktionen. Undersökningarna visade att den sprickbildning som sker av den inre lasten vid krympning är beroende av uppsprickningen, till skillnad från sprickbildning vid yttre last. Den jämförande studien över armeringsinnehåll enligt Eurokod 2 visar att dimensionering enligt tyska nationella bilagan under verkan av inre last ger en reducerad erforderlig armeringsarea med 20 % i förhållande till huvuddokumentet. De analytiska beräkningarna över sprickvidder tyder på att beräkningsmetoden enligt Eurokod 2 ger större sprickvidder än den som beräknats enligt den tyska nationella bilagan.

Två vanliga räkneregler som elever lär sig om i matematikundervisningen är prioriteringsregeln och vänster-till-höger-principen. Tidigare forskning har dock visat att elever också använder påhittade regler som vanligtvis inte brukar användas inom matematiken. Syftet med den här studien är att undersöka dessa ”egenskapade” regler. Syftet uppnås genom att studera vad det är för mindre kända räkneregler som eleverna tillämpar samt om hur konsekventa eleverna är i sin användning av en typ av räkneregel.  I studien gjorde 55 elever i årskurs 5 ett arbetsblad bestående av fem numeriska uttryck. Av de 55 eleverna använde 16 av dem någon form av regel som gick ut på att tal i de numeriska uttrycken parades ihop. 13 av de här 16 eleverna blev intervjuade om hur de hade tänkt när de löste uppgifterna. Data för studien utgörs därför av elevernas arbetsblad såväl som transkriberingarna från intervjuerna. Studien visar tre olika slags ”regler” som eleverna använder, förutom de vanliga räknereglerna vänster-till-höger-principen och prioriteringsregeln. De tre räknereglerna bygger alla på att tal paras ihop på ett eller annat sätt. Trots att nästan ingen av de 13 eleverna hade fått undervisning om de vanliga räknereglerna, så använder eleverna egna regler som följer logiska strukturer. Dessutom visar studien att de flesta eleverna inte är speciellt konsekventa när det kommer till valet av regel. Många av eleverna väljer att använda olika slags räkneregler för att beräkna uttryck som är uppbyggda på nästan samma sätt. / Two common rules of arithmetic that students learn about in education are the order of operations and the counting from left to right. However, previous research has shown that students also use made-up rules which are not usually used in mathematics. The aim of this study is to investigate the rules of arithmetic created by the students themselves. The aim is achieved by examine what kind of less-known rules of arithmetic that students apply and also how consistent students are in their use of a type of rule.   In the study, 55 students did a worksheet consisting of five tasks. In total, 16 of the 55 students used some kind of rule where numbers in the numerical expressions were paired in some way. Furthermore, 13 of the 16 students were interviewed about their way of thinking when solving the tasks. The data therefore consists of the students’ worksheets and transcriptions from the interviews.  The study shows that, in addition to the usual conventions left-to-right and order of operations, students use three different kinds of rules of arithmetic. The three rules of arithmetic are based on the principle that numbers are paired in one way or another. Despite that almost none of the 13 students had been taught the conventional rules of arithmetic, most students use own rules that follow logical structures. In addition, the study shows that most students are not particularly consistent when it comes to choosing strategy. Many students choose to use different kind of rules of arithmetic when they are calculating expressions that are structured in almost the same way.

Detta examensarbete inom området didaktisk matematik grundar sig på en empirisk undersökning.Undersökningar av talmönster bildar ramen för detta arbete. Åtta elever som läser årskurs 1 på ettgymnasiums El- och energiprogram gruppindelas och får uppgifter i problemlösning att lösa istigande svårighetsgrad. Elevernas arbete videofilmas och transkriberas, dessutom samlas allaelevernas anteckningar in. Jag har kopplat mitt resonemang till tidigare forskning som tar uppliknande frågor och då huvudsakligen generaliseringar av talföljder. I enlighet med Skolverketsriktlinjer ska eleverna ges möjlighet till problemlösning genom nya utmaningar samt ges nyaerfarenheter av matematikens logik och generaliserbarhet. Uppgifterna i denna uppsats är delsnumeriska och dels symboliska. Projektet har i första hand syftat till att visa på att visuella modellerkan assistera elever vid tillägnande av ny kunskap. I andra hand har projektet syftat till att visa atten viss process eller algoritm som definieras Abduktion kan vara till hjälp vid lösning av uppgiftervilka har som mål att leda till generaliseringar och formler. Med resultatet av detta arbete går det attdra slutsatserna att:1. eleverna under vissa förutsättningar har stöd av visuella figurer vid framtagande avgeneraliserade formler.2. begreppet Abduktion kan vara till hjälp vid framtagande av dessa formler.Nyckelord:

In systems of ultracold atoms,  the  quantum  Efimov  effect  can  appear where identical bosons form an infinite tower of bound trimer states in the resonant limit, at the bound dimer dissociation threshold. The most characteristic feature of this effect is that their energy spectrum obey a geometric scaling law, which is universal in the sense that it emerges irrespective of the nature of the two body forces. Using  a  model  potential,  constructed  to  resemble the two body interaction between alkali atoms,  which was  fine tuned to control the  scattering  length,  energy  eigenvalues  for  the  two-  and  threebody problem were calculated numerically. The results where  fitted  to  the analytic theory and the appearance of the first Efimov state was positioned at a scattering length of -9.23rvdW , which is in good  agreement  with  the universal value -9.2rvdW . / I system av ultrakalla atomer kan en kvanteffekt, kallad Efimoveffekt, uppkomma  där  identiska  bosoner  bildar  ett  oändligt  torn  av  bundna  trekroppstillstånd då spridningslängden går mot oändligheten, vid dissociationströskeln för en svagt bunden dimer.  Det mest utmärkande för denna effekt är att Efimovtillståndens energispektrum följer en geometrisk skalningslag, som är universell i den meningen att den framträder oberoende av hur atomernas parvisa växelverkan ser ut.  Med hjälp av en modellpotential som konstruerats för att efterlikna den parvisa växelverkan mellan två alkaliatomer finjusterades spridningslängden.  Energiegenvärdena för två- och tre-kropps problemen  beräknades  numeriskt  vid  olika  spridningslängder.   Resultaten jämfördes  med  den  analytiska  teorin  och  den  första  tre-kroppsresonansen uppkom  vid  spridningslängden  -9.23rvdW ,  vilket  överenstämmer  med  det experimentellt funna universella värdet -9.2rvdW .

The lattice Boltzmann method (LBM) is widely studied andused in the last years to replace the conventional numerical solvers forthe Navier-Stokes equations. In this work, a general introduction tofluid dynamics equations and the changes when the flow is a reactivemulti-species one will be given first. The lattice Boltzmann method andalgorithm will then be explained in details with the kinetic theorybehind, tested and validated for canonical test cases of doubly shearlayer flow in reactive and non-reactive flows. Finally the method willbe applied to simulate a non-reacting propane jet and the results willbe validated using experimental data. The objectives of this thesis are mainly: first a better understandingof the LBM, the combustion reactions, the jets and how they work, secondthe use of this method to produce a simple code that works for a basictest case, third validate this code with more developed methods, andfinally apply this method to simulate a more complex configuration whichis the non-reacting propane jet flame into co-flowing air / Gitter Boltzmann-metoden LBM studeras och används i stor utsträckning under de senaste åren för att ersätta de konventionella numeriska lösare för Navier-Stokes ekvationer.I detta arbete kommer en allmän introduktion till vätskedynamikekvationer och förändringarna när flödet är en reaktiv multiart att ges först.Gitter Boltzmann metod och algoritm kommer sedan att förklaras i detaljer med kinetisk teori bakom, testas och valideras för kanoniska testfall av dubbelt savskikt flöde i reaktiva och icke-reaktiva flöden.Slutligen kommer metoden att tillämpas för att simulera en icke-reagerande propanstråle och resultaten kommer att valideras med hjälp av experimentella data.\\ \\ Målen för denna avhandling är främst: först en bättre förståelse av LBM, förbränningsreaktionerna, jetstrålarna och hur de fungerar, för det andra användningen av denna metod för att producera en enkel kod som fungerar för ett grundläggande testfall, tredje validera denna kod med mer utvecklade metoder och slutligen tillämpa denna metod för att simulera en mer komplex konfiguration som är den icke-reagerande propanstrålelågan i co-flowing luft.