In praktischen Aufgabenstellungen können zur Modellierung zufälliger Einflüsse, welche sich durch schwache Abhängigkeiten auszeichnen, schwach korrelierte zufällige Funktionen genutzt werden. Die nähere Untersuchung von Funktionalen schwach korrelierter zufälliger Funktionen ist durch die Gestalt der Lösungen von praktischen Fragestellungen motiviert. Die stochastischen Charakteristiken dieser Lösungen lassen sich im Allgemeinen nicht exakt bestimmen, so dass auf Approximationsverfahren zurückgegriffen werden muss. Diese stehen im Mittelpunkt der Dissertation. Zu Beginn werden Entwicklungen von Momenten und Kumulanten der betrachteten linearen Integralfunktionale schwach korrelierter Prozesse nach der Korrelationslänge des Prozesses hergeleitet und eine Vermutung über die exakte Darstellung der Kumulanten formuliert. Für Integralfunktionale von schwach korrelierten Simulationsprozessen, welche aus der Interpolation von Moving-Average-Prozessen entstehen, werden die definierten Charakteristiken hergeleitet. Außerdem steht die Approximation der unbekannten Dichtefunktion im Fokus der Arbeit. Es werden verschiedene Zugänge genutzt. Eine alternative Herleitung zur bereits in der Literatur untersuchten Gram-Charlier-Entwicklung wird in Form der Edgeworth-Entwicklung angegeben. Des Weiteren werden die Sattelpunkt-Approximation und die Maximum-Entropie-Methode untersucht und anhand von Simulationsergebnissen für Integralfunktionale von Simulationsprozessen miteinander verglichen. / In engineering applications stochastic influences which are characterized by weak dependencies can be modelled, among others, by weakly correlated random functions. The solutions of such problems shape up as integral functionals of weakly correlated random functions which motivates more detailed investigations. In general the exact calculation of stochastic characteristics of such integral functionals is impossible so that we have to be content with approximation methods this thesis focuses on. At the beginning expansions of moments and cumulants of linear integral functionals of weakly correlated random processes with respect to the correlation length are considered and an explicit formula of cumulants is conjectured. For integral functionals of weakly correlated random simulation processes, defined as interpolations of moving average processes, the required expansion coefficients are derived. Furthermore the approximation of the unknown probability density is requested. In the thesis there are different approaches used. First we state an alternative way to achieve the already known Gram Charlier approximation by means of Edgeworth expansion. Then we study two further methods, namely the saddlepoint approximation and the maximum entropy method and compare them on the basis of simulation results for integral functionals of simulation processes.

Untersucht wird der Auswirkung von Anisotropie auf den unordnungsinduzierten Metall-Isolator-Übergang (MIÜ) im Rahmen des dreidimensionalen Anderson-Modells der Lokalisierung für (schwach) gekoppelte Ebenen bzw. Ketten. Mittels numerischer Verfahren (Lanczos- und Transfer-Matrix-Methode) werden Eigenwerte und -vektoren bzw. die Lokalisierungslänge berechnet. Zur Bestimmung des kritischen Exponenten dieses Phasenüberganges 2. Ordnung wird ein allgemeiner Skalenansatz verwendet, der auch den Einfluss einer irrelevanten Skalenvariablen und Nichtlinearitäten berücksichtigt. Ein Kapitel untersucht die verwendeten numerischen Verfahren, verschiedene Methoden werden verglichen und die Portierbarkeit zu Parallelrechnern diskutiert. Der MIÜ wird mit zwei unabhängigen Methoden charakterisiert: Eigenwertstatistik und Transfer-Matrix-Methode. Die Systemgrößenunabhängigkeit der betrachteten Größen am Phasenübergang wird benutzt um den MIÜ zu identifizieren. Sie resultiert aus der Multifraktalität der kritischen Eigenzustände, die für den isotropen Fall bis zu einer Systemgröße von 111^3 Gitterplätzen gezeigt wird. Es stellt sich heraus, daß der MIÜ auch bei sehr starker Anisotropie existiert und bereits bei geringerer Potentialunordnung als im isotropen Fall auftritt. Für den Fall sehr schwach gekoppelter Ebenen wird gezeigt, daß der kritische Exponent mit dem des isotropen Falles übereinstimmt und damit die übliche Einteilung in Universalitätsklassen bestätigt.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.

Untersucht wird der Auswirkung von Anisotropie auf den unordnungsinduzierten Metall-Isolator-Übergang (MIÜ) im Rahmen des dreidimensionalen Anderson-Modells der Lokalisierung für (schwach) gekoppelte Ebenen bzw. Ketten. Mittels numerischer Verfahren (Lanczos- und Transfer-Matrix-Methode) werden Eigenwerte und -vektoren bzw. die Lokalisierungslänge berechnet. Zur Bestimmung des kritischen Exponenten dieses Phasenüberganges 2. Ordnung wird ein allgemeiner Skalenansatz verwendet, der auch den Einfluss einer irrelevanten Skalenvariablen und Nichtlinearitäten berücksichtigt. Ein Kapitel untersucht die verwendeten numerischen Verfahren, verschiedene Methoden werden verglichen und die Portierbarkeit zu Parallelrechnern diskutiert. Der MIÜ wird mit zwei unabhängigen Methoden charakterisiert: Eigenwertstatistik und Transfer-Matrix-Methode. Die Systemgrößenunabhängigkeit der betrachteten Größen am Phasenübergang wird benutzt um den MIÜ zu identifizieren. Sie resultiert aus der Multifraktalität der kritischen Eigenzustände, die für den isotropen Fall bis zu einer Systemgröße von 111^3 Gitterplätzen gezeigt wird. Es stellt sich heraus, daß der MIÜ auch bei sehr starker Anisotropie existiert und bereits bei geringerer Potentialunordnung als im isotropen Fall auftritt. Für den Fall sehr schwach gekoppelter Ebenen wird gezeigt, daß der kritische Exponent mit dem des isotropen Falles übereinstimmt und damit die übliche Einteilung in Universalitätsklassen bestätigt.

Partitionierung von Graphen ist im Allgemeinen sehr schwierig. Es stehen derzeit keine Algorithmen zur Verfügung, die ein allgemeines Partitionierungsproblem effizient lösen. Aus diesem Grund werden heuristische Ansätze verfolgt. Zur Analyse dieser Heuristiken ist man derzeit gezwungen zufällige Graphen zu Verwenden. Daten realer Graphen sind derzeit entweder nur sehr schwer zu erheben (z.B. Internetgraph), oder aus rechtlichen bzw. wirtschaftlichen Gründen nicht zugänglich (z.B. soziale Netzwerke). Die untersuchten Heuristiken liefern teilweise nur unter bestimmten Voraussetzungen Ergebnisse. Einige arbeiten lediglich auf einer eingeschränkten Menge von Graphen, andere benötigen zum Erkennen einer Partition einen mit der Knotenzahl steigenden Durchschnittsgrad der Knoten, z.B. [DHM04]. Der im Zuge dieser Arbeit erstmals implementierte Algorithmus aus [CGL07a] benötigt lediglich einen konstanten Durchschnittsgrad der Knoten um eine Partition des Graphen, wenn diese existiert, zu erkennen. Insbesondere muss dieser Durchschnittsgrad nicht mit der Knotenzahl steigen. Nach der Implementierung erfolgten Tests des Algorithmus an zufälligen Graphen. Diese Graphen entsprachen dem Gnp-Modell mit eingepflanzter Partition. Die untersuchten Clusterprobleme waren dabei große Schnitte, kleine Schnitte und unabhängige Mengen. Der von der Art des Clusterproblems abhängige Durchschnittsgrad wurde während der Tests bestimmt.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.

Die vorgelegte Dissertation befasst sich mit der Frage unter welchen Bedingungen und in welchen Funktionenräumen hyperbolische Cauchy Probleme korrekt gestellt sind, wenn die Koeffizienten niedrige Regularität haben. Startpunkt der Betrachtungen sind strikt hyperbolische Cauchy Probleme beliebiger Ordnung mit Koeffizienten, die bezüglich der Zeit nicht differenzierbar aber glatt in allen Ortsvariablen sind. Abhängig von der Regularität der Koeffizienten bezüglich der Zeit, wird gezeigt in welchen Räumen Problem dieser Art korrekt gestellt sind. Insbesondere werden Zusammenhänge zwischen der Regularität der Koeffizienten und den Lösungsräumen deutlich. Basierend auf den Erkenntnissen für strikt hyperbolische Cauchy Probleme werden anschließend schwach hyperbolische Cauchy Probleme untersucht. Hier wird eine verallgemeinerte Levi Bedingung eingeführt und gezeigt, welcher Zusammenhang zwischen dem Einfluss der Levi Bedingungen und der niedrigen Regularität der Koeffizienten auf die Lösungsräume besteht. Schließlich wird noch den Fall von strikt hyperbolischen Cauchy Problemen betrachtet, die Koeffizienten mit niedriger Regularität in allen Variablen haben.

Neurone sind anregbare Zellen, die mit Hilfe von elektrischen Signalen miteinander kommunizieren. Im allgemeinen werden eingehende Signale von den Nervenzellen in einer nichtlinearen Art und Weise verarbeitet. Wie diese Verarbeitung in einer umfassenden und exakten Art und Weise mathematisch beschrieben werden kann, ist bis heute nicht geklärt und ist Gegenstand aktueller Forschung. In dieser Arbeit untersuchen wir die nichtlineare Übertragung und Verarbeitung von Signalen durch stochastische Nervenzellen und wenden dabei zwei unterschiedliche Herangehensweisen an. Im ersten Teil der Arbeit befassen wir uns mit der Frage, auf welche Art und Weise ein Signal mit einer bekannten Zeitabhängigkeit die Rate der neuronalen Aktivität beeinflusst. Im zweiten Teil der Arbeit widmen wir uns der Rekonstruktion eingehender Signale aus der durch sie hervorgerufenen neuronalen Aktivität und beschäftigen uns mit der Abschätzung der übertragenen Informationsmenge. Die Ergebnisse dieser Arbeit demonstrieren, wie die etablierten linearen Theorien, die die Modellierung der neuronalen Aktivitätsrate bzw. die Rekonstruktion von Signalen beschreiben, um Beiträge höherer Ordnung erweitert werden können. Einen wichtigen Beitrag dieser Arbeit stellt allerdings auch die Darstellung der Signifikanz der nichtlinearen Theorien dar. Die nichtlinearen Beiträge erweisen sich nicht nur als schwache Korrekturen zu den etablierten linearen Theorien, sondern beschreiben neuartige Effekte, die durch die linearen Theorien nicht erfasst werden können. Zu diesen Effekten gehört zum Beispiel die Anregung von harmonischen Oszillationen der neuronalen Aktivitätsrate und die Kodierung von Signalen in der signalabhängigen Varianz einer Antwortvariablen. / Neurons are excitable cells which communicate with each other via electrical signals. In general, these signals are processed by the Neurons in a nonlinear fashion, the exact mathematical description of which is still an open problem in neuroscience. In this thesis, the broad topic of nonlinear signal processing is approached from two directions. The first part of the thesis is devoted to the question how input signals modulate the neural response. The second part of the thesis is concerned with the nonlinear reconstruction of input signals from the neural output and with the estimation of the amount of the transmitted information. The results of this thesis demonstrate how existing linear theories can be extended to capture nonlinear contributions of the signal to the neural response or to incorporate nonlinear correlations into the estimation of the transmitted information. More importantly, however, our analysis demonstrates that these extensions do not merely provide small corrections to the existing linear theories but can account for qualitatively novel effects which are completely missed by the linear theories. These effects include, for example, the excitation of harmonic oscillations in the neural firing rate or the estimation of information for systems with a signal-dependent output variance.

In dieser Arbeit wurden die Morpho-Physiologie und das Verhalten zweier Arten Afrikanischer schwach elektrischer Fische, Marcusenius victoriae und Petrocephalus degeni, im Labor und in einem ihrer natürlichen Habitate im Lwamunda Sumpf in Uganda untersucht. Die zwei Hauptziele dieser Arbeit waren (i) tageszeitabhängige Verhaltensrhythmen (Aktivität, Habitatnutzung) im Labor und im Freiland zu untersuchen und (ii) die Ausprägung und Plastizität der morpho-physiologischen Merkmale von P. degeni zu untersuchen, die ihnen erlauben bei natürlich vorkommender, geringer Sauerstoffverfügbarkeit (Hypoxie) zu überleben. Tageszeitabhängige Verhaltensrhythmen beider Arten wurden im Labor über 42 Stunden und im natürlichen Habitat dieser Fische für sechs Tage erfasst. In den Laborversuchen verbrachten beide Arten tagsüber annähernd 100% der Zeit in einem bereitgestellten Versteck und schwammen nachts heraus um aktiv ihre Umwelt zu erkunden. Im Habitat wurden die meisten Fische in strukturell komplexen Habitaten unter schwimmenden Pflanzen detektiert. Nachts schwammen die Fische aktiv in die offenen und ungeschützten Bereiche der Lagune, vermutlich um nach Futter zu suchen und zu interagieren. Die Begleitende in-situ Messung der Sauerstoffverfügbarkeit zeigte, dass beide Arten präsent und vermutlich sogar am aktivsten waren während Phasen extremer nächtlicher Hypoxie. Zur Untersuchung der respiratorischen Merkmale von P. degeni wurden Respirometrieversuche mit hypoxie-akklimatisierten Tieren durchgeführt, Hämoglobin- und Laktatkonzentration im Blut gemessen, und morphologische Parameter an den ersten beiden Kiemenbögen erfasst. Die Fische zeigten niedrige Sauerstoffverbrauchsraten, welche sie bis zu einem sehr niedrigem äußeren Sauerstoffpartialdruck aufrechterhielten. Zusätzlich zeigten sie hohe Hämoglobin- und Laktatkonzentrationen im Blut. Bis zu 75 Tage Normoxie-Akklimatisierung führte zu reduzierter Hämoglobinkonzentration und kürzeren Kiemenfilamenten. / In this thesis, I investigated the morpho-physiology and behavior of two species of African mormyrid weakly electric fish, Marcusenius victoriae and Petrocephalus degeni, in the laboratory and in one of their natural habitats, the Lwamunda Swamp in Uganda. The two main objectives of this work were to (i) observe behavioral rhythms and habitat use patterns of both species under natural and laboratory conditions, and (ii) assess expression and plasticity of morpho-physiological traits that might enable P. degeni to survive naturally occurring low oxygen conditions (hypoxia). Behavioral rhythms were recorded in the laboratory over 42 hours and in the habitat on six sampling days. In the laboratory, both species spent close to 100% of the time in their shelter during the day and actively explore their environment at night. In the swamp lagoon, fish were most often encountered in structurally complex habitats under floating vegetation and ventured into open and unsheltered areas of the lagoon at night, presumably to forage and interact. Concomitant in-situ oxygen measurements revealed that these fish were present, and presumably most active during periods of extreme nocturnal hypoxia in their swamp habitat. To investigate respiratory traits of swamp-dwelling P. degeni, I conducted respirometry experiments and measured blood lactate and hemoglobin and gill morphometrics on the first two gill arches. Fish showed low routine oxygen consumption rates, which they maintained until a very low ambient oxygen partial pressure was reached. Additionally, they had high concentrations of hemoglobin and lactate in their blood. Up to 75 days of normoxia exposure reduced blood hemoglobin and gill filament length.

Kleine Moleküle wie Treibhausgase, aber auch Distickstoff und Disauerstoff stehen im Fokus der chemischen Forschung. Solche Moleküle sind durch ihr Vorkommen in der Atmosphäre ubiquitär vorhanden, preiswert und könnten als Synthesebausteine für die Darstellung von komplexeren Molekülen verwendet werden. In dieser Arbeit wurde die Reaktion koordinativ ungesättigter Diketiminato-Nickelkomplexe ([LNi] Komplexe) mit kleinen Molekülen untersucht. Zunächst wurden die Mechanismen der N2-Aktivierung durch reduzierte [LtBuNiI]- und [LMe6NiI] Komplexe miteinander verglichen. Dabei konnte das distickstoffaktivierende Schlüsselintermediat identifiziert und strukturell charakterisiert werden. Weiter wurden die N2-Komplexe [(LtBuNiI)( 1 1 N2)] bzw. K2[(LtBuNiI)( 1 1 N2)], die Vorläufer für [LNiI]- und [LNi0]– Komplexfragmente darstellen, hinsichtlich ihrer Potentials zur Aktivierung der reaktionsträgen Treibhausgase SF6 und NF3 untersucht. Über Reaktionen von Übergangsmetallkomplexen mit NF3 war bis dahin noch nicht berichtet worden; zur Umsetzung von SF6 existierten wenige Publikationen, in denen aber sehr viele mechanistische Fragen offengeblieben sind. Die Mechanismen der SF6- und NF3-Aktivierung wurden durch Kombination einer Vielzahl von ex- und in situ Analysen beleuchtet. Im Falle der SF6 Aktivierung gelang es zudem, ein Nickel(I)-Intermediat zu isolieren. Ein Produkt beider Systeme war der Fluorido-Nickel(II)-Komplex [LtBuNiIIF], dessen Reaktionsverhalten ebenfalls studiert wurde. Doch nicht nur Komplexe mit Nickelatomen in niedrigen Oxidationsstufen erwiesen sich für die Aktivierung kleiner Moleküle geeignet, sondern auch kationische [LtBuNiII(D)]+-Komplexe. Diese Nickel(II)-Komplexe reagierten mit fluorierten Molekülen, N2O sowie O2, was bemerkenswert ist, da Nickel(II)-Komplexe üblicherweise inert gegenüber O2 sind. Im Zuge der O2-Studien wurde ein metastabiler Oranoperoxidkomplex isoliert und strukturell charakterisiert, was beispiellos in der Literatur ist. / Current research focuses on the activation of small molecules like greenhouse gases, thermodynamically stable molecules like N2 and kinetically stabilized molecules like O2, which are all abundant in the atmosphere. Thus, it appears to be alluring to use them as cheap and readily available building blocks for the synthesis of value-added compounds. This dissertation deals with the reaction of low-coordinate diketiminate nickel complexes [LNi] and such small molecules. Initially, the mechanisms of the dinitrogen activation by reduced [LtBuNiI] and [LMe6NiI] complexes were studied. As a result, the key intermediate [(LtBuNiI)x(3 Br)xKx] (x > 1) was identified and structurally characterized. Subsequently, the nickel complexes [(LtBuNiI)( 1 1 N2)] and K2[(LtBuNiI)( 1 1 N2)], which represent sources for [LtBuNiI] and [LtBuNi0]– moieties, were applied to the activation of the inert, but very efficient greenhouse gases SF6 and NF3. Prior to these investigations, no transition metal complex had been reported to react with NF3. Publications dealing with the conversion of SF6 had been scarce, too, while at same time, the mechanisms involving its activation had been speculative. The mechanisms of the NF3 and SF6 activation reactions were deduced combining numerous ex-situ and in situ analytical methods. In case of the SF6 activation, even an intermediate could be isolated. In both systems, the nickel fluoride complex [LtBuNiIIF] was formed and its reaction behaviour was also studied. Furthermore, not only [LtBuNiI]- and [LtBuNi0]– moieties proved to be reactive towards small molecules, but also cationic [LtBuNiII(D)]+ complexes, which were specifically developed for this purpose. The reactions of [LtBuNiII(D)]+ complexes with fluorinated molecules (e. g. PhF, NF3), O2 and N2O were studied. In course of the O2 activation, a metastable organoperoxide complex was isolated and structurally characterized, which is unparalleled in the literature.