This thesis aims to study how flat dielectric lenses can be designed. The usage of flat lenses is steadily increasing as they are smaller and less bulky than traditional convex lenses. Instead of a lens with a curved surface the permittivity in the lens is varied to achieve the same effect. Two different computational methods were investigated when approaching this problem: physical and geometrical optics. In physical optics the incoming radio waves are treated as waves in contrast to geometrical optics where it is considered as rays. Both methods are used as approximations of Maxwell's equations. The variation of permittivity in the lens was formulated as an optimisation problem where the lens' focusing abilities were maximised. The optimisation was implemented with an interior point method. Both arbitrary permittivity distributions as well as predetermined distributions were examined in this work. All optimised lens models were then simulated in a full wave commercial simulation software to verify and compare the two. The simulations showed that both approaches gave promising results as they focused the electromagnetic wave in a satisfying way. However the physical optics approach was more prominent as the focused radio waves had a much higher magnitude than the approach based on geometrical optics. The conclusion was therefore that physical optics is the preferred approach.

Denna studie är en empirisk studie som syftar till att undersöka gymnasieelevers svårigheter inom det aritmetiska medelvärdet. Frågeställningarna som undersöks i denna studie är: Vilka matematiska svårigheter har gymnasieelever i Sverige när de löser uppgifter som handlar om det aritmetiska medelvärdet? Vilka av svårigheterna med det aritmetiska medelvärdet är gemensamma för gymnasieelever i och utanför Sverige? Och hur frekvent förekommer de identifierade svårigheterna bland gymnasieelever i Sverige? För att besvara frågeställningarna genomfördes en enkätundersökning bland 43 gymnasieelever i Sverige. Elevsvaren i enkäterna kategoriserades och de svårigheter som identifierades jämförs sedan med redan undersökta teman från tidigare forskning. Resultaten visar att gymnasieelever i Sverige bland annat har svårigheter med ”att kommunicera innebörden av begreppet aritmetiska medelvärdet”. Svårigheterna som identifierades i denna studie överensstämmer med de som redan är undersökta i den tidigare litteraturstudien. Studien tar även upp implikationer för lärare som handlar om hur läraren kan anpassa undervisningen för att överbrygga elevsvårigheterna. Till exempel tas det upp i arbetet att lärare kan använda sig av datorbaserade uppgifter där elever kan manipulera data på ett enkelt sätt och samtidigt studera hur den grafiska presentationen förändras. / This study is an empirical study that aims to investigate high school students’ difficulties within the arithmetic mean. The questions examined in this study are: What mathematical difficulties do high school students in Sweden have when solving problems related to the arithmetic mean? Which of the difficulties with the arithmetic mean are common for high school students in and outside of Sweden? And how frequently do the identified difficulties occur among high school students in Sweden? To answer the questions, a survey is conducted among 43 high school students in Sweden. The student responses in the questionnaires were categorized and the difficulties identified were then compared with already examined themes from previous research. The results show that high school students in Sweden, among other things, have difficulty with "communicating the meaning of the concept of arithmetic mean". The difficulties identified in this study are consistent with those already investigated in the previous literature review. The study also addresses implications for teachers that deal with how the teacher can adapt the teaching to overcome student difficulties. For example, it is mentioned in the work that teachers can use computer-based tasks where students can manipulate data in a simple way and simultaneously study how the graphic presentation changes.

Den här studien syftar till att undersöka om svenska läromedel för Matematik 3b genom användandet av problemlösningsuppgifter ger elever möjlighet att kunna skapa förståelse för derivata. Metoden är kvantitativ innehållsanalys, och läromedlen analyserades med hjälp av ett kodningsschema med sju dimensioner. Huvudfokus för kodningen var uppgiftstyp, som kategoriserades utifrån grad av problemlösning. Kategorierna representerar olika uppgiftstyper med olika grad av imitation, resonemang och problemlösning. Detta gjordes för att kunna hitta mönster i hur läromedlens upplägg i termer av hur uppgiftstyp (grad av problemlösning) relaterar till svårighetsgrad och avsnittstyp. Resultaten framställs genom tabeller och diagram. Resultaten pekar på att läromedlen generellt sett är relativt lika i sitt upplägg och uppgiftsfokus, även om det i vissa aspekter finns vissa skillnader. Det tydligaste mönstret är hur imitationsuppgifter dominerar den ordinarie uppgiftssamlingen, framför allt på grundläggande nivå. Dessutom finns mönster i hur specialavsnitt skiljer sig från de andra avsnittstyperna i termer av vilka uppgifter som är i fokus. Slutsatsen är även att trots att det finns en övervikt av imitationsuppgifter i de flesta läromedel, kan elever fortfarande utveckla alla förmågor som behövs – om läraren använder läromedlet på ett effektivt sätt. / This study’s purpose is to investigate if Swedish textbooks in the course “Matematik 3b”, through the use of problem-solving tasks, give students the possibility to create a deeper understanding of the concept of derivatives. The method is a quantitative content analysis, and the textbooks were analyzed by the usage of a coding schedule consisting of seven dimensions. The main focus regarding the coding of tasks was type of task, which was categorized according to level of problem-solving required to solve the task. The categories represent different task types defined by different amounts of problem-solving, reasoning and imitation. This was done in order to find patterns regarding how the textbooks were structured in terms of how task type relates to degree of difficulty and type of section in which the task appears. The results are presented through tables and diagrams. They point to the fact that in general, the textbooks are similar in terms of structure and task focus, even though there are some differences in certain aspects. The most obvious pattern is how imitation dominates the main tasks, especially those that are on a basic level. Furthermore, there are patterns in how the “special sections” differ in terms of which task types are in focus. The conclusion is that even though imitation dominates most textbooks, textbooks still offer students possibilities to develop in every aspect of mathematics – if the teacher uses the textbook in an efficient way.

Vi studenter har under vår studietid observerat avsaknaden av läromedel för elever med svenska som andraspråk i matematik vilket väckt en nyfikenhet till vidare forskning inom området. Den här studien är utförd i tre olika klasser innehållande elever med svenska som andraspråk. Studien fokuserar på elever med svenska som andraspråks lösningsförmåga vid textuppgifter och jämförelse mellan elever som använt respektive inte använt ett anpassat läromedel. Studien använder sig av variationsteorin för att identifiera kritiska aspekter i textuppgifter samt hur dessa påverkar eventuella samband och skillnader i elevlösningar. Elevlösningarna granskades kvalitativt genom att studera vilken representationsform eleverna valt. Dessutom granskades om eleverna besatt adekvat begreppsförståelse för textuppgifterna. Studiens empiri är insamlad genom ett matematiktest som eleverna har utfört. Resultatet visade att elever med svenska som andraspråk som inte använder anpassat läromedel löste matematiktestet mer framgångsrikt än den elevgrupp som använder anpassat läromedel. Resultatet visade även att begreppsförståelse och textuppgiftens utformning har en stor betydelse för elevens lösningsförmåga i båda elevgrupperna. Vidare diskuteras begreppförståelsens betydelse, användning av flera representationsformer i en textuppgift samt vilken typ av uppgift eleverna mest framgångsrikt löste.

Under 2000-talet har det skett en digitalisering som medfört ett inflytande på skolväsendet gällande vilka förmågor elever ska utveckla. Detta har inneburit att högre krav har ställts på lärare och deras digitala kompetens. Digital kompetens har definierats som en av åtta nyckelkompetenser för livslångt lärande av Europaparlamentet och Europeiska Unionen. En av de förmågor som innefattas i digital kompetens är att kritiskt kunna granska och reflektera över sin användning. Denna kvalitativa studie inriktar sig på lärares uppfattningar kring hur digitala verktyg kan användas som en resurs i matematikundervisningen. Studien undersöker hur lärare resonerar kring sin användning av digitala verktyg i matematikundervisning. Vidare undersöker studien hur digitala verktyg kan påverka elevers lärande i matematik. Som stöd för att besvara studiens forskningsfrågor har intervjuer med sju lärare genomförts. Sammanställning av resultatet från intervjuerna visar att digitala verktyg kan användas för att stödja genomgångar i matematikundervisningen samt bidra till att individanpassa undervisningen på ett varierat sätt. De kan även bidra till en ökad lust och motivation till matematik hos elever. Verktygen möjliggör även för träning av aritmetik. TPACK-ramverket har använts för att analysera resultatet utifrån likheter och skillnader mellan ramverket och det lärarna berättar. Slutsatsen kan dras att vid rätt användning kan digitala verktyg bli en resurs i matematikundervisning vilket kan bidra till elevers lärande i matematik.

Denna läromedelsanalys syftar till att utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv belysa vilka möjligheter en läromedelsserie i matematik erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk. Studien utgår från sex kritiska aspekter av stambråk: areamodellen, linear measurement, inverse order relationship, stambråk som mängden av en helhet, partitioning och iterating. Utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv med en deduktiv ansats har läromedlen analyserats genom en textanalys. Resultatet visar att samtliga kritiska aspekter av stambråk finns representerade i läromedlet. Samtidigt behandlas flertalet av dem i mindre utsträckning, vilket kan leda till en begränsad concept image av stambråk hos elever. Resultatet visar även att det vanligaste variationsmönstret i läromedlen är fusion, vilket innebär att elever behöver kunna urskilja flera kritiska aspekter av lärandeobjektet samtidigt. Detta försvårar möjligheten att tillägna sig förståelsen för stambråk. I resultatet framgår det också att areamodellen är den vanligast förekommande representationsformen i läromedelsserien. En konsekvens för undervisningen blir således att representations-former som bygger på linear measurement behöver få större plats inom ramen för den ordinarie undervisningen. Detta för att elever ska få en större förståelse för stambråk och en berikad concept image vilket i sin tur möjliggör förståelsen för mer avancerade matematiska principer. Sammanfattningsvis diskuteras att lärare behöver förhålla sig kritiskt till matematikläromedel samt vara medvetna om vilka möjligheter det erbjuder.

Den här studien är en systematisk litteraturstudie som syftar till att undersöka hur matematiska videoklipp  påverkar elevers motivation att lära sig matematik och hur de används i matematikundervisning. Vi använde oss av databasen UniSearch och med hjälp av våra bestämda urvalskriterier valdes relevanta artiklar till vår studie. Artiklarna sammanfattades och analyserades. För att analysera artiklarna använde vi oss av de tre kategorierna i självbestämmandeteorin som är känsla av kompetens, självbestämmande och social delaktighet. Resultatet av den här studien visar att matematiska videoklipp uppfyller de tre kategorierna i självbestämmandeteorin och kan därför leda till ökad motivation. Utöver det fann vi resultat som visar att matematiska videoklipp kan användas före, under och efter matematiklektioner. Från resultatet anser vi att matematiska videoklipp skulle kunna vara en tillgång och fungera som ett bra stöd i matematikundervisningen. Exempelvis kan matematiska videoklipp användas före lektion i det flippade klassrummet, under lektion som ett  komplement till genomgång samt efter lektion till läxläsning. / This study is a systematic literature review that aims to examine how mathematical videos influence students’ motivation in mathematics, and how they can be used in teaching. We used the database UniSearch together with our selection criteria to choose relevant articles for our study. The articles were summarized and analyzed. To analyze the articles, we used the three categories in self-determination theory: Autonomy, competence and relatedness. The result from this study shows that mathematical videos meet the categories in self-determination theory. Therefore, mathematical videos could increase students’ motivation in mathematics. Moreover, the result shows that mathematical videos can be used before, during and after mathematics lessons. From these results, we believe that mathematical videos could be a useful support in mathematics teaching. For example, mathematical videos can be used before a lesson in the flipped classroom, during a lesson as a complement to the lecture and after a lesson as a tool to help studying homework.

Cancer is a complex illness that affects millions of people every year. Amongst the most frequently encountered variants of this illness are solid tumours. The growth of solid tumours depends on a large number of factors such as oxygen concentration, cell reproduction, cell movement, cell death, and vascular environment. The aim of this thesis is to provide further insight in the interconnections between these factors by means of numerical simulations. We present a multiscale model for tumor growth by coupling a microscopic, agent-based model for normal and tumor cells with macroscopic mean-field models for oxygen and extracellular concentrations. We assume the cell movement to be dominated by Brownian motion. The temporal and spatial evolution of the oxygen concentration is governed by a reaction-diffusion equation that mimics a balance law.To complement this macroscopic oxygen evolution with microscopic information, we propose a lattice-free approach that extends the vascular distribution of oxygen. We employ a Markov chain to estimate the sprout probability of new vessels. The extension of the new vessels is modeled by enhancing the agent-based cell model with chemotactic sensitivity. Our results include finite-volume discretizations of the resulting partial differential equations and suitable approaches to approximate the stochastic differential equations governing the agent-based motion. We provide a simulation framework that evaluates the effect of the various parameters on, for instance, the spread of oxygen. We also show results of numerical experiments where we allow new vessels to sprout, i.e. we explore angiogenesis. In the case of a static vasculature, we simulate the full multiscale model using a coupled stochastic/deterministic discretization approach which is able to reduce variance at least for a chosen computable indicator, leading to improved efficiency and a potential increased reliability on models of this type.

Half the world’s river volume is affected by flow alterations and/or fragmentation, a figure that is likely to increase with the current global surge in hydropower development. At the same time, freshwater biodiversity is in rapid decline. In fluvial ecosystems, streamflow is a master variable, shaping riverine species’ habitat over space and time. Atlantic salmon (Salmo salar) and brown trout (S. trutta) are examples of species that need fluvial habitats for reproduction and juvenile rearing, and whose flow needs can come in conflict with hydropower production objectives. This necessitates tools for predicting the effect of fluvial habitat alteration on fish production. In this thesis, I applied the individual-based model inSTREAM to simulate salmon and trout in the Gullspång Rapids, a residual flow stretch of the Gullspång River, Sweden, over a ten-year period. InSTREAM uses sub-daily time steps to simulate individual fish interacting with their biotic and physical environment, and tracks the fitness consequences of their main actions: habitat and activity selection. For inSTREAM input, I had to describe key habitat features, create a 2D hydraulic model of the rapids, model river temperature, and gather data on salmon and trout eco-physiology and life history characteristics in the Gullspång River. I ran simulation experiments varying either flow input, the number of spawners, spawning gravel, shelter and boulder availability, or temperature. Flow alterations had limited benefit. Only the scenario where the current minimum flow was set three times higher yielded increased production, and only for trout. Trout dominated salmon in competition, and production was density dependent. The model predicted that the only way to increase production of both species at current spawner numbers was to add instream structures offering more energetically profitable feeding positions. / Half the world’s river volume is affected by flow alterations and/or fragmentation –a figure that is likely to increase with the current global surge in hydropower development. Streamflow shapes the river habitat for species like Atlantic salmon (Salmo salar) and brown trout (S. trutta) –species that need rivers for reproduction and for juvenile rearing. In this thesis, I applied the individual-based model inSTREAM to simulate how salmon and trout interact with the physical and living environment in the Gullspång Rapids, a residual flow stretch in the Gullspång River, Sweden. InSTREAM follows individuals through spawning, egg development, and juvenile rearing until out-migration. I ran simulation experiments over ten years, varying either flow input, the number of spawners, spawning gravel, shelter availability, or temperature. Flow alterations had limited benefit; only in the scenario where the current minimum flow was tripled did production increase, and only for trout. Trout dominated salmon in competition for food and space, and production was density dependent. The model predicted that the only way to increase production of both species at current spawner numbers was to add instream structures offering more energetically profitable feeding positions. / <p>Article 2 part of thesis as manuscript, now published.</p>

Syftet med denna studie har varit att analysera hur den tidiga subtraktionsinlärningen introduceras i två utvalda läromedel avsedda för elever i årskurs 1. I studien har variationsteorin använts som teoretisk utgångspunkt, och det har vid granskningen av de utvalda läromedlen riktats fokus mot kritiska aspekter, kritiska drag samt variationsmönster. Vid granskning av tidigare forskning har följande möjliga svårigheter med introduceringen av subtraktion kunnat urskiljas: beräkningsstrategierna direkt subtraktion och indirekt addition, sambandet mellan addition och subtraktion samt den antikommutativa lagen. Det är dessa svårigheter som vidare benämnts som kritiska aspekter och kritiska drag. Resultatet visar att samtliga kritiska aspekter och kritiska drag, i olika utsträckning, har kunnat urskiljas i läromedlen. Direkt subtraktion har visat sig vara det kritiska drag som är främst förekommande i båda läromedlen. Med hjälp av lärarhandledningens förslag på arbetsgång kan förståelse för de kritiska aspekterna skapas, vilket i sin tur kan skapa förståelse för lärandeobjektet subtraktion.