Denna studie har tagit avstamp från den fenomenografiska forskningsansatsen och fyra lärare har blivit intervjuade i syfte att vinna kunskap om deras uppfattningar gällande introduktion till räknesätten addition och subtraktion samt hur inversa operationer integreras i undervisningen. Kunskapsluckor mellan teori och praktik upplevs, detta då resultatet visade att alla fyra lärare, på ett eller annat sätt, använt sig av samtidig introduktion av räknesätten trots att bara två av lärarna uttryckte att de gjorde det. Likaså för att ingen av de intervjuade lärarna använder begreppet inversa operationer trots att de allihop visar på användning av det i undervisningen. De intervjuade lärarna ser fördelar med att använda sig av konkreta material i undervisningen och uttrycker att de oftast går från konkret till abstrakt. Men både de intervjuade lärarna och tidigare forskning lyfter att det konkreta materialet i vissa fall är distraherande för eleverna.

Syftet med studien är att undersöka hur nio elever i årskurs 5 erfar subtraktionstecknet. Studien kommer också presentera och synliggöra elevernas olika uppfattningar och svårigheter kring subtraktionstecknet. Studien har genomförts med hjälp av  kvalitativa intervjuer där nio elever beskriver hur de erfar subtraktionstecknet utifrån olika sammanhang. Den teoretiska utgångspunkten för studien är livsvärldsfenomenologin. Vid analys av studiens datamaterial har teman formats som sedan behandlas i studiens resultatkapitel. Resultatet är att eleverna betraktar subtraktionstecknet som att något ska tas bort eller minskar ett annat tal. Studiens resultat visar också att eleverna anser att subtraktion är svårt, och att fel ofta begås för att det är flera steg vid genomförandet av beräkningarna. Resultatet synliggör också att eleverna inte reflekterar kring sina val av metoder och strategier i samband med beräkningar av subtraktion. / The aim of this study is to investigate how nine pupils in schoolyear 5 experiences the subtraction sign. The study will present and reveal the pupils’ different perceptions and difficulties regarding the subtraction sign. This study has been performed through qualitative interviews by nine pupils describing how they comprehend the subtraction sign in different contexts. The theoretical point of view in this study is life-world phenomenology. When analyzing the study’s datasets, a number of themes has been formed that later are addressed in the result. The result of this study shows that the pupils considers the subtraction sign as to take something away or to decrease a number. The result also shows that the pupils considers subtraction to be difficult, and errors often occurs because of multiple steps during the calculations. Furthermore, the result reveal that the pupils are not aware of their choice regarding methods and strategies when making calculations in subtraction.

Studiens syfte är att undersöka sju lärares val av undervisningsmaterial vid introduktionen av subtraktion. Utgångspunkten i studien är taget ur livsvärldsfenomenologin, och data har samlats in genom semistrukturerade intervjuer där det kvalitativa datamaterialet sedan analyserats genom olika teman. Resultatet visar att samtliga lärare var överens om att konkret och laborativt material var att föredra vid introduktionen av subtraktion. Läroböckerna användes istället vid ett senare stadium för att hjälpa eleverna att befästa kunskaperna på en mer abstrakt nivå. / The aim of this study is to look into what teaching material seven teachers choose to use during the introduction of subtraction.The study has been inspired by life-world phenomenology, and has been conducted through semi-structured interviews, where the qualitative datasets later have been analyzed through different themes. The results show that all of the teachers agreed that concrete and laboratory materials where to prefer when introducing subtraction. The textbooks were used at a later stage to help the pupils consolidate their knowledge at a more abstract level.

Under den verksamhetsförlagda tiden väcktes intresset för huvudräkning hos mig, ef­tersom eleverna valde att använda sig av miniräknare trots att de hade kunskap om olika huvudräk­ningsstrategier. Enligt skolverket (2011b) skall eleverna vid huvudräkning ta del av olika strategier för att stärka självsäkerheten och tilltron till sin förmåga. Syftet med studien var att undersöka vilken eller vilka strategier som några elever i grundskolan föredrog vid huvudräk­ning inom addition och subtraktion. Undersökningen byggde på en kvalitativ metod och her­meneutiken som teoretisk forskningsansats. Urvalet bestod av ett målinriktat urval kombinerat med ett bekvämlighetsurval och resulterade i tre elever från vardera tre olika skolor och skol­områden. Huvudräkningsuppgifter samt intervjuer användes som datainsamlingsmetod. Data­bearbetningen av intervjuerna har utförts under inspiration av hermeneutiken som bygger på tolkningar. Resultatet av studien visade att inom addition är det strategin talsorter var för sig, algoritm och dubbla som elever föredrar helst. Inom subtraktion varierade eleverna mer vid valet av huvudräkningsstrategier, där de helst föredrar räkna uppåt, algoritm, jämföra, tals­orter var för sig, komplettera, lägga till och räkna neråt. Resultatet visade även att skillnaden mellan skolorna inte var så stor, dock fanns det en liten skillnad mellan skola II och skola III vad gäller strategin räkna uppåt. Skillnaden var att skola II föredrar flera olika strategier av­seende subtraktion. Det framgår tydligt att eleverna har en god kunskap om olika huvudräk­ningsstrategier vid addition och subtraktion. Enligt eleverna är det på grund av att lärarna i sin undervisning hade gått igenom olika strategier inom huvudräkning. / During my practical training periods I became interested in mental arithmetic because I expe­rienced that the students chose calculators despite their knowledge of mental arithmetic strat­egies. According to skolverket (2011b) students shall take part of different strategies to strengthen their selfconfidence and belief in their own ability. The purpose of this study was to identify which strategies some students in middle school choose when they are practising mental arithmetic in addition and subtraction. The study was based on a qualitative method and hermeneutic as a theoretical approach. The sample consisted of a targeted selection in combination with a convenience selection and resulted in three students from each of three different schools and school areas. Mental arithmetic tasks and interviews were used as data collection method. Data processing of the interviews has been processed using hermeneutics method and is based on interpretation. The result of the study showed that partitioning num­bers, algorithm and double was the most common mental arithmetic strategies in addition. When it comes to strategies in subtraction the students varied more and the most common was counting upwards, algorithm, compare, partitioning numbers, complementary addition and counting back from. The result also showed that there was no significant difference between the schools except school II and III when it comes to the strategy counting upwards. The dif­ference was that school II uses several different strategies when performing subtractions. It was rather clear that the students in this study had a good knowledge of various mental arithmetic strategies for addition and subtraction, and according to themselves it was a consequence of the various strategies in mental arithmetics, that their teachers had taught them.

The purpose of this study is to investigate how the teaching of mathematics is reflected in the students' understanding of the concept of the subtraction. The empirical data is based on observations in the classroom and student interviews. The understanding of the concept of the subtraction is shown through vocabulary and choice of examples and representations. The study used both qualitative methods and quantitative reports. The data is represented by one school and one classroom in grade three.  The theoretical framework is based on Liping Mas Subject Matter Knowledge and the variation theory of Marton and Booth and the relationship between these frameworks and concepts of variation, concretization, aids, subtraction and types of subtraction.  The results show that the impact of education is that subtraction is understood as the invers of addition. Complement and add to, is the type of strategy most frequently used, followed closely by the strategy remove and count down. The strategy compare is the least used. The observations in the classrooms shows several aspects and variations of the concept of the subtraction. Although the number line, and various forms of representation used in teaching has shown small effects of these aids in the students' own counting. The conclusions that can be drawn is that more and other metaphors and tools are needed in education to deepen students' understanding of the concept of the subtraction. They also need to be connected in the teaching. The language and the mathematical ideas discussed plays a critical role in the pupils’ acquisition of understanding.

Syftet är att undersöka hur elever i årskurserna 1-3 löser uppgifter i subtraktion och då främst med tiotalsövergång. Studien är gjord utifrån en kvalitativ ansats. Datainsamlingen genomförs med hjälp av 12 elevintervjuer där varje elev beräknar tre uppgifter och muntligt berättar hur de går tillväga. Detta analyseras sedan utifrån följande tre frågeställningar. På vilka sätt löser elever i åk 1-3 utvalda uppgifter i subtraktion? Vilka strategier och metod är vanligast bland elever i åk 1-3? Hur skiljer sig strategierna och metoderna åt vad gäller elever med fallenhet respektive svårighet i matematik? I studien framgår att huvudräkning är en vanlig metod i alla tre årskurser. Endast eleverna i årskurs 3 använder sig av lodrät algoritm som strategi då de beräknar vissa uppgifter. Eleverna väljer ofta strategi eller metod utifrån vad de för närvarande jobbar med i klassrummet. Resultatet visar att det finns flera metoder som inte är hållbara och dessa bör tidigt bytas ut. Om eleverna redan från årskurs 1 kan använda hållbara strategier när de beräknar subtraktion kommer detta att gynna elevernas fortsatta matematiklärande.

Yngre elever har generellt svårare för subtraktion än addition. Svårigheten ligger i att det finns fler aspekter att ta hänsyn till för att göra gynnsamma strategival och använda sig av lämpliga beräkningsmetoder. Genom ett test med uppföljande röstsvar hos elever ur en årskurs 2 undersöker vi hur de gör och vad som skiljer sig åt eleverna emellan när de räknar subtraktion. Syftet med denna studie är att genom ett deskriptivt förhållningssätt identifiera de strategier och beräkningsmetoder elever ur en svensk årskurs 2 spontant använder sig av vid huvudräkning vid subtraktion i talområdet mellan 21 och 100. Vidare analyserar vi huruvida det finns några samband mellan elevers val av strategi och beräkningsmetod samt huruvida det finns några skillnader mellan pojkars och flickors val av strategi och beräkningsmetod. Vi analyserar även om det finns något samband mellan strategival, beräkningshastighet samt korrekt svar utifrån problemets utformning och tillhörande gynnsam strategi. För att uppnå syftet med denna studie formulerar och söker vi svar på elva frågeställningar. Utifrån den kunskapsöversikt som har gjorts och i linje med syftet med denna studie ställer vi även två hypoteser. Beträffande strategival förhåller eleverna sig övervägande till direkt subtraktion. Detta mönster gäller för pojkar såväl som för flickor. Den största spridningen i val av strategi återfinns där uppgifterna är utformade för att gynna indirekt addition som strategival. Dock ska tilläggas att även dessa uppgifter till övervägande del uppvisar en användning av direkt subtraktion. Gällande beräkningsmetoder har eleverna till största del använt sig av talsortsvis beräkning. Till skillnad från strategival uppvisas en skillnad mellan pojkars och flickors val av beräkningsmetod. Pojkarna tenderar att variera sina metoder medan flickorna ofta förhåller sig till en och samma. Beträffande samband mellan strategival och beräkningshastighet utifrån problemets utformning och gynnsam strategi kan urskiljas att problemets utformning kan ha en påverkan på beräkningstiden. Dock kan inget samband identifieras mellan gynnsam strategi och tid. Beträffande samband mellan strategival och antal rätt utifrån problemets utformning och gynnsam strategi kan urskiljas att både problemets utformning och gynnsam strategi kan ha en påverkan på antal rätt.

The purpose of this qualitative study was to investigate how the progression appears in the teaching of subtraction between preschool class and grade 1. What was examined was whether the teaching in subtraction is interrelated be- tween these grades or whether it differs completely. In order to find this out, interviews were conducted with employed qualified teachers in pre-school class and grade 1. Through these interviews we got to learn about the teachers' stories about how they work and what influences their choices in their work on subtraction. A teaching media analysis was also carried out on the teaching materials that teachers stated they used in the teaching of subtraction. The re- sults show that teachers in pre-school class work very much with laboratory teaching materials in their teaching as well as in whole class or smaller groups, while teachers in grade 1 work less in whole class/groups but more with indi- vidual work. The work in grade 1 proves to be more focused on the fact that teachers want something to assess the students compared to the preschool class' work where much of the learning is done through play. The results show that preschool teachers work either very little with subtraction or not at all com- pared to primary school teachers in grade 1 where subtraction is practiced on a regular basis. In preschool the terminology that is used is both formal and informal, however, overall more informal words are used compared to grade 1 where more formal words are used. The results also show that preschool teach- ers prepare the subtraction strategy step-by-step calculations. In grade 1 the strategy step-by-step calculations are used as well as the numerical calculations strategy. / Syftet med denna kvalitativa studie var att undersöka hur progressionen ser ut i subtraktionsundervisning mellan förskoleklass och årskurs 1. Det som un- dersöktes var om undervisningen i subtraktion hänger samman mellan dessa årskurser eller om den ser helt olika ut. För att få reda på detta genomfördes intervjuer med verksamma behöriga lärare i förskoleklass samt årskurs 1. Ge- nom dessa intervjuer fick vi ta del av lärares berättelser om hur de arbetar och vad som påverkar deras val i sitt arbete med subtraktion. En läromedelsanalys genomfördes även på de läromedel som lärare uppgav att de använde sig av i subtraktionsundervisningen. Resultatet visar att lärare i förskoleklass arbetar väldigt mycket med laborativa läromedel i sin undervisning samt i helklasser eller mindre grupper medan lärare i årskurs 1 arbetar betydligt mindre del i helklass/grupper men desto mer med individuellt arbete. Arbetet i årskurs 1 visar sig vara mer inriktat på att lärare vill ha något som de kan bedöma ele- verna på jämfört med förskoleklassens arbete där stor del av lärandet sker ge- nom lek. Resultatet visar att lärare i förskoleklass arbetar väldigt lite eller inte alls med subtraktion till skillnad från årskurs 1 där subtraktion tränas regel- bundet. Terminologin som används i förskoleklass är en kombination av in- formella och formella ord, dock merparten informella ord till skillnad från årskurs 1 där det används mer formella ord. Resultatet visar att lärare i för- skoleklass förbereder subtraktionsstrategin stegvisa beräkningar och i årskurs 1 tränas strategierna stegvisa beräkningar samt talsortsvisa beräkningar.

Detta är en studie som undersöker hur elever i årskurs 1 löser aritmetiska uppgifter med konkret material som tiobasmaterial eller pengar, samt utan konkret material. I studien har klasslärarna intervjuats för att ta reda på elevernas undervisningsbakgrund som rör bland annat elevernas bekantskap med konkret material. Därefter har observationer genomförts där elevgrupper har löst uppgifter inom addition och subtraktion, både inom och utom det talområde eleverna är vana vid. Två elevgrupper har använt pengar som konkret material, två elevgrupper har använt tiobasmaterial och två elevgrupper har varit utan konkret material, men de har haft tillgång till papper och penna. Utifrån dessa observationer har det visats sig att det konkreta materialet tenderar till att eleverna samtalar mer kring uppgiften, eftersom i elevgrupperna utan konkret material löser de uppgifterna enskilt i tystnad. Det visade sig även att eleverna som använde pengar som konkret material lättare fastnade i materialet och använde sig inte av inlärda algoritmer i samma utsträckning som de andra elevgrupperna gjorde. Vid vissa tillfällen fastnade eleverna med pengar som konkret material i att diskutera vilken valör de skulle visa ett tal med, samt att de fick problem att växla till lämpliga valörer. Slutsatsen för studien är att pengar kan vara användbart som konkret material, men främst för att visa på en vardagsanknytning. Det behövs samtal i undervisningen kring hur pengarna kan användas som verktyg, samt för val av lämpliga valörer och växlingar mellan valörer.

Syftet med studien är att identifiera kritiska aspekter i addition och subtraktion med tal i decimalform samt om och i så fall hur dessa synliggörs vid skriftliga beräkningar av elever i skolår 5 och skolår 7 från två skolor i Sverige. Med utgångspunkt i variationsteorin har empirin samlats in genom tester och intervjuer. Resultatet visar att samma kritiska aspekter som återfinns i tidigare forskning även syns i denna empiri. De mest frekventa kritiska aspekterna är att elever skriver algoritmer med rak högerkant, konsekvent subtraherar det minsta från det största, inte förstår att 0 – 4 kräver växling eller behandlar decimaltal som heltal. I skolår 7 kan en viss progression ses då de äldre eleverna i intervjuerna ger uttryck för begrepp (exempelvis position, platsvärde och decimaltecken) som de till skillnad från skolår 5 har utskilt.