Denna uppsats är en litteraturstudie av kurslitteratur i matematikdidaktik. Jag har läst all kurslitteratur som användes i matematikdidaktiska kurser för blivande lärare i tidiga skolår under läsåret 2008/2009 vid Stockholms universitet. Jag har sökt efter beskrivningar av subtraktion och undersökt vilka olika subtraktionssituationer som finns beskrivna. Exempel på subtraktionssituationer är minskning och jämförelse. En minskning är en situation från verkligheten där en mängd minskas och en jämförelse kan ske då det finns två mängder som jämförs med varandra. Båda kan tecknas som ett subtraktionsuttryck. 7 – 4 = 3 kan beteckna minskningen 7 bullar finns på fatet, 4 äts upp och då är det 3 kvar eller jämförelsen 7 bullar finns på fatet och 4 barn runt bordet. Det är 3 fler bullar än barn. Min studie söker svar på vilka olika situationer som kan uppstå i verkligheten runt omkring oss, som kan tolkas till subtraktion och hur dessa situationer beskrivs i kurslitteraturen samt vilka ord och uttryck som används för att beskriva dessa situationer. För att tolka vad jag läser använder jag en matris från en forskningsöversikt där jag sorterar in de olika situationer som beskrivs. Min undersökning visar att det inte finns någon enhetlig bild av olika subtraktionssituationer i den litteratur som har undersökts. Det finns inte heller någon entydig terminologi för situationer inom räknesätten. Jag har också uppmärksammat att samma ord ibland används för att benämna situationer och ibland används för att benämna beräkningsstrategier. En del matematikdidaktisk litteratur skiljer inte på situationer och beräkningsstrategier. Med inspiration från variationsteori diskuterar jag hur denna variation öppnar för, respektive stänger för, olika sätt att erfara subtraktion.

Att kunna använda sig av olika strategier för att kunna räkna och veta när man bör använda sig av dem är något som betonas i Lgr11. Denna studie undersöker huruvida ett urval av elever i år 6 kan variera sina räknestrategier för huvudräkning i uppgifter med addition och subtraktion och vilka de vanligaste felen som eleverna gör är. Vidare undersöks om eleverna använder sig av skilda strategier på samma uppgift, beroende på om den är satt i en text i ett vardagligt sammanhang eller enbart består av nakna tal. Som ett led i denna studie gjordes kvalitativa intervjuer med eleverna. Resultaten av studien visar att eleverna till stor del varierar sina strategier och att de generellt sett byter strategi från den nakna uppgiften till den i textform.

Syftet med denna studie var att undersöka elevers användning av lösningsstrategier i subtraktion samt lärares och läromedlens framställning av dessa, för att kunna komma fram till hur en framgångsrik undervisning i subtraktion, med fokus på lösningsstrategier, kan se ut. Undersökningen genomfördes i tre klasser i åk 3. Metoder i studien var elevenkät, intervju med lärare och läromedelsgranskning. Data bearbetades med hjälp av en egenkonstruerad begreppsmodell utifrån olika lösningsstrategier. Resultatet visar på en större variation av lösningsstrategier i undervisningen än i elevernas uträkningar. Eleverna använder sig oftast av enbart en av lösningsstrategierna, så kallad ”talsortsvis beräkning”. Strategin leder till många fel i elevernas uträkningar. / The purpose of this study was to investigate how pupils use solution strategies for subtraction, and how those are presented by teachers and textbooks in order to find out how successful teaching in subtraction, with focus on solution strategies, might look. The study was carried out on three groups in the 3rd grade. The methods of this study consisted of a pupil survey, interviews with teachers and a review of textbooks. The data were processed using a self-constructed conceptual model based on different solution strategies. The results indicate a larger variation of solution strategies in the teaching than in the pupils´ calculations. The pupils typically use only one of the solution strategies, a so-called "number-splitting calculation". This strategy leads to many errors in the pupils' calculations.

Detta är en empirisk studie som har syftat till att synliggöra vilka strategier elever i årskurs två har använt när de löst öppna utsagor samt vilka missuppfattningar som förekommit i samband med detta. Studien har även syftat till att synliggöra hur eleverna har kunnat relatera öppna utsagor till vardagliga sammanhang. Vid datainsamlingen, som utfördes på två olika skolor, genomfördes 15 kvalitativa intervjuer vilka kombinerades med observationer. Eftersom det i uppsatsens syfte finns en underförstådd relation till fenomenografin och hermeneutiken i form av såväl teorier som metodologier har dessa forskningsansatser varit en stor inspirationskälla i vår undersökning. Vidare har vi genom vår studie visat att de strategier som elever använder när de löser slutna utsagor till stora delar även används när eleverna löser uppgifter i form av öppna utsagor. Resultatet har visat på en bred variation i elevernas lösningsstrategier och det framgår att eleverna, vid deras lösningar av öppna subtraktionsutsagor, knappt använder de tre vanligaste subtraktionsstrategierna. Istället använder de bland annat en strategi som ger upphov till flera missuppfattningar. Det visade sig även att samtliga elever hade svårt att relatera öppna utsagor till vardagliga sammanhang.

Bakgrund: Elever ges för lite tid att samtala om matematik, både hemma och i skolan. Att kunna föra resonemang är något som visat sig vara viktigt såväl i skolan som för övriga livet. Dessutom visar forskning att matematikämnet är abstrakt och kräver tid för reflektion, att samtala om och i matematik där elever ges möjlighet att lära av varandra har visat sig vara en viktig komponent för att fördjupa kunskaper i matematik. Däremot ges elever sällan möjlighet att samtala och arbetet sker oftast enskilt i läroböcker. Forskning visar dock att det inte är lätt att föra samtal som faktiskt leder till förbättrade kunskaper i matematik, men internationell forskning betonar att samtalsverktygen Talk Moves och Concept Cartoons ska kunna leda till samtal som fördjupar elevers resonemang i matematik. Därför ser vi det intressant att undersöka om samtalsteknikerna i Talk Moves kan hjälpa elever att fördjupa sina resonemang kring Concept Cartoons. Syfte: Syftet med studien var dels att undersöka om Talk Moves kan hjälpa elever att samtala kring en Concept Cartoons med modellering av subtraktionshändelser som matematiskt innehåll, men också att undersöka hur elever själva upplever det. Metod: Studien är kvalitativ och genomfördes i en årskurs två med tre elever. För att insamla empiri gjordes tre deltagande observationer och en elevintervju i grupp där vi båda intog rollen som samtalsledare/lärare. Alla observationer och intervjun videoinspelades med ljud- och bildupptagning för att både få syn på elevernas samtal och kroppsspråk. Resultat: Vårt resultat visar att eleverna vid det första observationstillfället oftare behövde stöttande frågor från oss, med hjälp av Talk Moves samtalstekniker kunde elevernas resonemang fördjupas. Vi kunde se en progression från första till sista observationen då eleverna oftare fördjupade sina resonemang på egen hand och med hjälp av varandra, vi behövde då inte ställa lika många stöttande frågor till eleverna. Elevernas upplevelser av arbetet var att det blev enklare att samtala ju fler gånger de fått göra det men att det ibland var svårt att framförallt upprepa någon annans tanke.

Mitt syfte med denna studie har varit att beskriva och analysera hur elever med svenska som modersmål samt elever med annat modersmål än svenska löser subtraktionsuppgifter och formulerar uppgifter utifrån ett givet uttryck. Empirin består av 272 elevers svar och utifrån denna bas har en kvalitativ och en kvantitativ studie genomförts där feltyper, metodval och elevens modersmål varit viktiga parametrar i analysen.   I den kvalitativa analysen konstaterades att elever beräknar subtraktionsuppgifter på olika sätt och utifrån detta har ett flödesschema tagits fram och använts som analysredskap. Elevsvaren sorteras ut i olika nivåer; Nivå 1 – Läsligt svar eller inte, Nivå 2 – Inkorrekta svar och feltyper som uppkommer inom räknemetoderna, Nivå 3 – Korrekta svar med redovisning eller inte. På nivå 2 identifierades 8 feltyper för lodrät algoritm och 7 feltyper för vågrät algoritm. När eleven skall formulera en subtraktionshändelse finns fem olika kategorier; Jämförelse, Ta bort, Utfyllnad, Missledande resonemang och Övrigt.   I den kvantitativa analysen redovisas lösningsfrekvens och räknemetod för de respektive uppgiftsgrupper som skapats (grön, blå, röda och svarta), där gröna uppgifter anses vara de lättaste och de svarta uppgifterna de svåraste. Den lodräta algoritmen var den mest framgångsrika räknemetoden för alla fyra uppgiftsgrupper. Den lodräta räknemetoden var också den mest använda vid de gröna och svarta uppgifterna, medan den vågräta räknemetoden var mest använd vid de blå och röda uppgifterna.   Dessutom görs en jämförelse av fördelningen av feltyper mellan olika elevgrupper; elever med svenska som modersmål och elever med annat modersmål än svenska. I båda elevgrupper är feltypen Mindre från större mest förekommande, både när det gäller vågrät som lodrät algoritm. I elevgruppen elever med svenska som modersmål framträder feltyperna Mindre räknefel och Subtraherar delresultat i större utsträckning än hos elever med annat modersmål än svenska.   När elever formulerar egna räknehändelser utifrån en given subtraktionsuppgift används synsättet Ta bort uteslutande som den mest förekommande kategorin.

Teaching mathematics towards mathematical proficiency cannot easily be described since mathematical proficiency is complex and no term alone capture all aspects. The purpose of the study was to examine how mathematical proficiency in conceptual understanding can be discriminated through the concept of subtraction in grade 1 and 3 primary school. Question raised by the study was 1. What different levels in quality can be discriminated in the ways students subtracts?   2. Can progression be discriminated within subtraction operations between grade 1 and 3? Concepts like mathematical artefacts, capability and ability have been useful tools when analyzing the material. Developing mathematical thinking in students is about developing conceptual understanding anchored in the process rather than focus on procedures and outcome. When subtracting with comprehension one knows that subtraction undoes addition since subtraction is the inverse operation of addition.      The methods used are qualitative studies using observations and interviews. The material consists of notes from observations, recordings of interviews and written solutions. The study developed an analysis tool in order to compare the different ways of thinking when doing subtraction activities. Developing the tool was critical in order to compare and discriminate different levels of mathematical thinking. The results indicate that the Swedish curricula in mathematics do not support mathematical teaching towards mathematical proficiencies because it’s lack of concrete measurable goals.

Syftet med studien är att kartlägga talbaserade och sifferbaserade räknemetoder i subtraktion genom en läromedelsanalys av läromedlet Koll på matematik för årskurs 1-3. Studien ämnar till att undersöka i vilken ordning räknemetoderna introduceras samt att urskilja hur undervisningen av dessa utformas utifrån läromedlet. Studiens teoretiska perspektiv, hypothetical learning trajectory, kopplas samman med Skotts analysmodell för att kartlägga räknemetoderna i läromedlet. Resultatet visar att undervisningen av skriftliga räknemetoder i subtraktion utifrån läromedlet Koll på matematik sker på olika sätt beroende på årskurs, men liknande mönster går att urskilja. Inledande gemensamma samtal, stöttning, illustrationer, samt konkret material förekommer i alla årskurser men en övergripande regression av kvantitet sker i stigande årskurser. Det framgår även att talbaserade metoder är de som introduceras först och sifferbaserade metoder introduceras tidigast i elevbok 2B. En diskussion förs innan slutsatsen utmynnar i att tidigare forskning påvisar att talbaserade metoder bör introduceras tidigare än sifferbaserade metoder, vilket också är den ordning läromedlet introducerar räknemetoderna.

För att elever ska utveckla kunskap om matematiska principer behöver de ha kunskap om tals additiva del-helhetsrelationer och relationen mellan addition och subtraktion. Addition och subtraktion är varandras invers och det är viktigt att eleverna lär sig att addition och subtraktion inte är åtskilda räknesätt. En välstuderad matematisk princip som beskriver den här relationen är inverse principle, vilket skrivs som 𝑎+ 𝑏− 𝑏= 𝑎 eller 𝑎− 𝑏+ 𝑏= 𝑎. Däremot har få studier riktat in sig på den matematiska principen complement principle, vilket innebär sambandet mellan 𝑎+ 𝑏= 𝑐 och 𝑐− 𝑏= 𝑎. Därför är syftet med litteraturstudien att utifrån matematikdidaktisk forskning belysa elevers förståelse för matematiska principer genom addition och subtraktion. Syftet besvaras genom frågorna: Hur kan förståelse för addition och subtraktion underlätta för elever när de utvecklar kunskap om inverse principle och complement principle samt vilken betydelse har konkret material för elevers förståelse för inverse principle och complement principle.  Genom en systematisk informationssökning som utgår från tidigare forskning har internationellt vetenskapligt material samlats in. Litteraturstudien har inriktats mot elever i skolans lägre årskurser. Resultatet visar att förståelse för de matematiska principerna grundas i elevers förståelse för del-helhetsrelationer och hur de förstår relationen mellan addition och subtraktion. Resultatet visar även att begreppet complement principle är komplext men med hjälp av konkret material kan elever lättare att ta till sig och använda principen. Elever verkar förstå de matematiska principerna lättare när de får det beskrivet med konkret material. Det finns en möjlighet att elever utvecklar förståelse för complement principle genom sin förståelse för inverse principle.

Den här systematiska litteraturstudien syftar till att beskriva, utifrån tidigare forskning, vilka kunskaper lärare behöver för att erbjuda elever förutsättningar att nå förståelse inom det matematiska området subtraktion med tiotalsövergång. Insamling av data har skett genom sökningar i databaser samt genom ett nominerat urval utifrån de vetenskapliga artiklar som ansetts relevanta för att besvara studiens forskningsfrågor. Studien bygger på ett ramverk bestående av två kunskapsdimensioner, ämneskunskap samt didaktisk kunskap, och dess underliggande kunskapsformer. Dessa kunskapsformer synliggörs och särskiljs genom att kopplas till vanligt förekommande arbetsuppgifter för lärare. I resultatdelen lyfts vanligt förekommande fel inom subtraktion med tiotalsövergång för elever fram. Studiens resultat belyser vidare kunskapsformen kunskap om elever och innehåll som väsentlig för att stödja elever i dessa svårigheter. Det framgår även att de två kunskapsdimensionerna tycks ha likbördig effekt på undervisningen men framträder olika mycket beroende på om fokus ligger på vilken kunskap läraryrket kräver eller vilken kunskap läraryrket innehåller. Den här studie kan gynna professionen såtillvida att ett synliggörande av de kunskaper som läraryrket kan sägas bestå av, eventuellt kan underlätta lärares reflektion över utvecklingsmöjligheter.