Bråk beskrivs som ett av de mest komplexa ämnesområden inom matematik. Däremot har en del läromedel tonat ner bråkens betydelse samtidigt som forskning visar att läroböcker utgör en central del av lärares matematikundervisning. Syftet med denna studie är att ge en bild av vad tre läromedel läroböcker erbjuder elever att lära om bråk. Undersökningen har inspirerats av variationsteorin och utgår från fyra kritiska aspekter som utifrån tidigare forskning visat sig vara viktiga för elevers förståelse för bråk. Totalt har sex läroböcker analyserats med hjälp av en innehållsanalys, i syfte att identifiera vilka variationsmönster som används för att synliggöra fyra kritiska aspekter. Dessutom undersöktes vilka lärandeobjekt som förekommer i respektive lärobok. Av resultatet framgår en variation i vilken utsträckning de kritiska aspekterna behandlas och vilka variationsmönster som används för att öka elevers förståelse för de kritiska aspekterna. Framförallt ges elever möjlighet att lära om täljaren och nämnarens funktion genom generalisering som mönster av variation. I läromedlen kunde sammanlagt 19 unika lärandeobjekt identifieras. Däribland återfinns lärandeobjekt om såväl bråk som del av en helhet som bråk som del av antal. Även om inget av de analyserade läromedlen behandlar samtliga lärandeobjekt är det möjligt att utläsa en tydlig skillnad vad gäller såväl omfång som innehåll. Oavsett står det klart att en kombination av flera läromedel kan berika elevers möjligheter att lära bråk. För att en sådan variation ska vara möjlig krävs en stärkt skollag som säkerställer elevers rätt till läromedel. / Research shows that there are a number of reasons students struggle with fractions. On the other hand, some mathematics textbooks still reduce the importance of fraction, while research found mathematics textbooks as a central part of teachers’ math teaching. However, the aim of this study is to depict what three educational materials offer pupils to learn about fractions. The study has been inspired by the theory of variation and is based on four critical aspects that, based on previous research, have been found as critical for students’ understanding of fractions. A total of six mathematics textbooks have been analysed using a content analysis, in order to identify which patterns of variation are used to make the selected critical aspects visible. Furthermore, this study examined which learning objects that appear in each textbook. The results show a variation in the extent each critical aspect is treated and which variation patterns that are used to improve pupils understanding of selected critical aspects. A total of 19 unique learning objects could be identified in the mathematics textbooks. Due to the fact that none of the analysed teaching materials deals with all learning objects, it is possible to distinguish a variation of both volume and content. However, result from this study claims that mathematics textbooks combined would offer greater opportunities to learn obviously. If teachers should be able to overcome a various teaching material it is necessary to strengthen students’ rights to teaching material.

Denna studies syfte är att utveckla en fördjupad förståelse för hur undervisning kan utformas då man med hjälp av en visuell modell vill skapa förutsättningar för elever att föra kvalificerade resonemang om relationer mellan olika aktörer i det parlamentariska systemet. För att ta reda på detta undersöktes vilka möjliggörande element som tycks leda till att elever urskiljer kritiska aspekter av ett flödesschema av det parlamentariska systemet, samt vilka möjligheter och utmaningar som uppstår i samband med ett undervisningsupplägg baserat på en visuell modell, i detta fall i form av ett cirkulärt flödesschema av det parlamentariska systemet. Med utgångspunkt i en fenomenografisk forskningsansats och variationsteori designades det lektionsupplägg som ligger till grund för det insamlade materialet, bestående av två lektioner med en klass med 24 elever i årskurs 8 som har filmats respektive ljudinspelats. I analysen har särskild hänsyn tagits till ifall elever har urskilt kritiska aspekterna reciprocitet och helhet. Reciprocitet handlar om att urskilja att relationen mellan aktörer i det parlamentariska systemet är ömsesidig. Möjliggörande element för denna kritiska aspekt fanns vara elevers förkunskaper, att den visuella modellen användes som hjälpmedel samt diskussioner kring ifall en aktör är subjekt eller objekt i ett sammanhang. Helhet handlar om att urskilja att modellen visar en sammanhängande process/ordning. Möjliggörande element för den kritiska aspekten helhet fanns vara modellen som just visualiserade helhet, begreppsdiskussioner samt resonemang kring kausalitet. Som slutsats betonas bland annat lärarens stöttning vid gruppdiskussioner samt vikten av öppna frågeställningar ifall syftet är att få elever att föra resonemang snarare än att lista ut det rätta svaret.

­­­­­­­­­­I flera decennier har likhetstecknets betydande roll i matematikämnet studerats av en rad olika forskare. Där det tydligt framgår att den operativa uppfattningen av likhetstecknet dominerar i klassrummen, därav syftar vår studie till att undersöka hur elevers uppfattning och förståelse av likhetstecknets relationella funktion förändras om olika delar av undervisningsinnehållet varieras. Syftet kommer besvaras genom frågeställningarna; Hur visar sig elevernas förståelse för likhetstecknets funktion i förtestet, hur påverkar variationen av undervisningsinnehållet elevernas förståelse av likhetstecknet och vilken uppfattning av likhetstecknet visas av eleverna i eftertestet efter en variation av undervisningsinnehållet. Studien har sin utgångspunkt i variationsteorin som fokuserar på vad som ska läras och hur lärandet kan möjliggöras genom teorins centrala begrepp, kritiska aspekter och variationsmönster. För att uppfylla studiens syfte och besvara frågeställningarna kommer designbaserad forskning användas som forskningsmetod, i form av en lektionsserie på tre lektioner som baserats på ett förtest.  Resultatet visar att variation av undervisningsinnehållet kan med hjälp av variationsmönster; kontrastering, generalisering och fusion, synliggöra och urskilja de kritiska aspekterna för att kunna utveckla elevernas förståelse av likhetstecknet. / For several decades, the significant role of the equals sign in the subject of mathematics has been studied by several different researchers, where the operative conception of the equal sign dominates in the classroom. Therefore, our study aims to investigate how students' conception and understanding of the equal sign relational function changes if different parts of the teaching content are varied. In accordance with this aim, the following research questions are addressed in the present study; What is the students' understanding of the function of the equal sign in the pre-test, how does the variation of the teaching content affect the students' understanding of the equal sign and what perception of the equal sign is shown by the students in the post-test after a variation of the teaching content. The study has its starting point in variation theory, which focuses on what is to be learned and how learning can be made possible through the theory's central concepts, critical aspects, and patterns of variation. To fulfil the purpose of the study and answer the questions, design-based research will be used as a research method, in the form of a series of lessons (3) based on a pre-test.  The results show variation of the teaching content can be by means of patterns of variation; contrasting, generalizing, and fusion, making visible and distinguishing the critical aspects to develop the students' understanding of the equal sign.

Fingrar som verktyg är ett fenomen som individer både lärare, elever och vårdnadshavare runt om i världen har skilda åsikter om. Vissa ser fingrarna som ett positivt verktyg för elevers matematiska tänkande medan andra tvekar på fingrarnas tillgång. Syftet med studien är därför att ge bild av hur lärare uppfattar elevers användande av fingrar som verktyg i matematik. För att besvara syftet har studien tagit utgångspunkt i följande frågeställningar: på vilka skilda sätt uppfattar lärare i årskurs 1–6 elevers användande av fingrar som verktyg och vad karaktäriserar respektive uppfattning? Vilka kritiska aspekter kan identifieras relaterat till de skilda uppfattningarna? Studien tar sin utgångspunkt i den fenomenografiska ansatsen. I studien har fem lärare intervjuats för att få bild av hur de uppfattar användandet av fingrar som verktyg i matematik. Allt material har transkriberats och även analyserats för att kunna redogöra för ett tillförlitligt resultat. Resultatet presenteras genom ett utfallsrum som visar att samtliga lärare uppfattar fenomenet mestadels som något positivt, då en uppfattning är mer negativ. Dessa uppfattningar kan i sin tur delas in i fyra skilda uppfattningar: fingrar som ett hinder för elevers lärande, fingrar som ett konkret material, fingrar som ett stöd i matematik samt fingrar som en grund för aritmetisk förståelse. Av de fyra uppfattningarna gick det att urskilja tre kritiska aspekter, nämligen urskilja möjligheter, att fingrar är ett medierenade verktyg samt urskilja relationer/förståelse. / Fingers as a tool is a phenomenon that individuals such as teachers, pupils and caregivers around the world has different opinions about. Some consider that the fingers are a positive tool to pupils mathematical thinking, while others hesitate the fingers access. The purpose of this study is therefore to give a picture of how teacher perceive the use of fingers as a tool in mathematic. To answer the purpose, following questions have been used: In what ways perceive teacher in grade 1-6 pupils use of fingers as a tool and what characterizes each perception? Which critical aspects can be identified related to the different perceptions? The study is based on phenomenography. Five teachers have been interviewed to give a picture of how teacher perceive the use of fingers as a tool in mathematic. The material has been transcribed and analyzed to be able to account a reliable result. The result presented through an outcome space that shows each teacher perceives the phenomenon mostly as something positive, since one perception is more negative. These perceptions can be divided into four different perceptions: fingers as an obstacle for pupils learning, fingers as a concrete material, fingers as a support in mathematics and fingers as a foundation for arithmetic comprehension. Based on these four perceptions, it was possible to distinguish three critical aspects namely, distinguish possibility, that fingers are a mediating tool and distinguish relations/understanding.

Syftet med studien var att få kunskap om vilka faktorer som NO-lärare i årskurs 7-9 upplever som viktiga för elevers förståelse vid undervisning kring begreppen oxidation och reduktion. Studien behandlar kemiundervisning utifrån tre olika nivåer, kritiska för förståelsen av ämnet kemi (Den kemiska tripletten) samt att inlärning sker i en social kontext. Studien utgår från ett variationsteoretiskt perspektiv samt det sociokulturella perspektivet. Intervjuer genomfördes med fem olika högstadielärare för att klargöra vilka uppfattningar som finns kring undervisningen av begreppen. Studiens resultat pekade på tre svårigheter i samband med undervisningen av begreppen: svårigheter för eleverna att förstå begreppen genom den submikroskopiska nivån, begreppen kräver omfattande förkunskaper och betydelsen av att koppla kemiska begrepp till vardagen. De slutsatser som framkom handlar om användandet av bra förklaringsmodeller för att kunna uppfatta den submikroskopiska nivån, att använda vardagliga exempel som en viktig faktor samt slutsatser kring betydelsen av strategier för bestämning av förkunskaper och därmed göra förändringar i den egna undervisningspraktiken.

Tallinjen är en visuell representation av talordningen som kan användas i undervisningen, där eleverna utmanas att förklara sina tankar. Denna studie utgår ifrån tidigare forskning, närmare bestämt en undersökning genomförd av Skoumpourdi (2010) i Grekland. Syftet med denna studie är att bidra med kunskap om hur användningen av tallinjen påverkar elevers förmåga att lösa problemlösningsuppgifter. Frågeställningarna som har besvarats är: Hur skiljer sig elevers förmåga att lösa problemlösningsuppgifter med och utan tallinje? På vilka olika sätt använder elever tallinjen i sina lösningar? Vilka kritiska aspekter identifieras i elevers lösningar av uppgifter med en tallinje? 124 elever i årskurs 2 fick svara på sex problemlösningsuppgifter där hälften av eleverna fick uppgifter när tallinjen fanns med och hälften fick utan tallinje. De skulle även visa hur de löste uppgifterna. Utifrån det insamlade materialet gjordes en kvantitativ analys där svaren sammanställdes i ett Excel dokument över rätt, fel och icke svar. Resultatet visar att elever löser problemlösningsuppgifter mer framgångsrikt när det finns en tallinje med. Denna studies resultat skiljer sig från Skoumpourdis (2010) studie som visade att eleverna lyckades bättre med problemlösningsuppgifterna när tallinjen inte fanns med. Studiens teoretiska utgångspunkt var variationsteorin. Det gjordes även en kvalitativ analys av hur elever som använde tallinjen löste två av uppgifterna. Utifrån denna analys identifierades kritiska aspekter. / The number line is a visual representation of the numerical order, which can be used for educational purposes, as it challenges students to explain their thought processes. This study is based on previous research/studies, particularly the study from Greece by Skoumpourdi (2010). The purpose of this study is to contribute to a further understanding of how to use the number line that effectively helps students solve problem-solving questions. The formulated questions that have been answered in this study are: What are the differences in students’ ability to solve problem-solving questions with and without the number line? In which ways do students incorporate the number line in their solutions? What critical aspects can be identified in the students’ solutions with the number line? 124 students in grade 2 answered six problem-solving questions in which half of the students were given the number line beside the questions and the other half without it. They would also provide an explanation for how they solved the questions. From the collected data, a quantitative method was used to compile the answers by the students in an Excel document, which was divided into the correct, wrong and no answer. The result showed that students solved problem-solving questions more successfully using the number line. This study’s result differs from the survey by Skoumpourdis (2010), which showed that students solved problem-solving questions more successfully without incorporating the number line. The study’s theoretical starting point was variation theory. A qualitative approach was also used to analyze how the students used the number line to solve two of the problems. Thereafter, an analysis was conducted of this to identify the critical aspects.

Syftet med denna uppsats var att undersöka att om - och i så all hur - elevers uppfattningar av undervisningsinnehållet ändras, när olika delar av innehållet varieras och framhävs. Det som studerades var två lektioner i samhällskunskap med fokus på representativ demokrati och de deltagande elevernas uppfattningar om detta innehåll före och efter dessa lektioner. Undersökningen gjordes med hjälp av en fenomenografisk metod för att beskriva uppfattningar utifrån ett skriftligt enkätmaterial som användesi en Learning Study. Dessutom användes ett variationsteoretiskt perspektiv på lärande för att analysera hur de olika lektionerna kom att iscensättas med hjälp av kritiska aspektersom analysinstrument och hur relationen mellan lektionen och elevernas uppfattningar kundebeskrivas utifrån slutsatserna om vilka uppfattningar som eleverna hade efter lektionen och hur innehållet hade gestaltats.Slutsatserna var att det gick att hitta samband mellan hur innehållet hade presenterats och unikauppfattningar somelever uppvisade efter lektionerna. Det visade sig till exempel att för att göra en mer problematiserande uppfattning om representativ demokrati möjlig för eleverna att utveckla, så krävdes att innehållet varierades mer och att de kritiska aspekternai innehållet framställdes mer varierat. En annan slutsats var att undervisningsinnehållet var mer komplext och innehöll fler kritiska aspekter av representativ demokratiän de som lärarna i Learning Study-arbete hade identifierat.

Syftet med studien är att synliggöra hur lärare kan förebygga att elever förlorar motivation vid matematikundervisningen. I studien undersöks det också hur lärare kan fånga upp samt arbeta med omotiverade elever. För att möjliggöra studien har kvalitativ data i form av intervjuer och observationer använts. Undersökningen genomfördes på en grundskola där tre klasslärare i årskurs 2–3 intervjuades och observerades under matematiklektioner. Resultatet påvisar att brist på motivation kan ses på ett flertal olika sätt i undervisningen såsom osäkerhet, att eleverna saknar det inre drivet samt att undervisningen inte är tillräckligt tillfredsställande. I resultatet framkommer det också olika metoder som lärare kan använda för att skapa motivation hos eleverna. Där ingår bland annat en varierad undervisning, uppmuntran och beröm samt att läraren har en positiv syn på elevernas förmågor och lärande. Att elevers motivation har en stor betydelse i lärandet är det ingen tvekan om. Därför är det mycket väsentligt att lärare har förståelse för detta och på så sätt förebygger att elevers motivation och intresse minskar i undervisningen.

Syftet med den här studien är att undersöka undervisning och lärande av lärandeobjektet, bråk med olika nämnare, i årskurs 4, årskurs 6 och årskurs 9. Då specifikt jämförelsen av bråk med olika nämnare och addition med hjälp av gemensam nämnare. Studien avser att söka vad som är kritiskt för att kunna lära sig detta.   Vi genomförde en learning study som är en typ av aktionsforskning där studien genomförs i klassrumsmiljö och fokus ligger på vad eleverna ges möjlighet att lära sig. Vanligtvis genomförs en learning study i tre cykler där undervisningen gradvis förbättras mellan cyklerna. Vår första cykel genomfördes i årskurs fyra, den andra cykeln i årskurs sex och den sista och avslutande cykeln i årskurs nio. Lektionen i årskurs fyra var en introduktion till bråk där fokus låg på nämnarens funktion. Lektionerna i årskurs sex och nio fokuserade till stor del på addition av bråk med olika nämnare. Processen i varje cykel började med ett förtest som sedan följdes upp med en planerad lektion utifrån utfallet, lektionen i sin tur videofilmades utifrån det iscensatta lärandeobjektet, och som sista del tog vi reda på det erfarna lärandeobjektet med hjälp av eftertest. Materialet (förtest, lektion och eftertest) från de tre lektionerna analyserades därefter och jämfördes för att få fram kritiska aspekter vid inlärning av bråk med olika nämnare.   Resultatet indikerar att de kritiska aspekterna för elever i årskurs fyra är innebörden av täljare och nämnare samt relationen mellan dem. Denna kritiska aspekt lyckades vi komma åt under lektionen. I de senare cyklerna visar resultatet att den viktigaste kritiska aspekten är relationen mellan täljare och nämnare och insikten att de står i proportionalitet till varandra, dessa aspekter kom vi endast till viss del åt under lektionerna i årskurs sex och årskurs nio. I vissa fall försämrades deras förståelse efter lektionerna. Eleverna i årskurs sex och årskurs nio uppvisade samma svårigheter och vi kan inte påvisa någon förbättring mellan årskurserna; eleverna i årskurs sex och nio låg på samma nivå kunskapsmässigt då det gäller bråk med olika nämnare. / The aim of this study is to investigate the teaching and learning of fractions with different denominators as an object of learning in grade 4, 6 and 9. We concentrate more specifically on the comparison of fractions with different denominators as well as performing additions through transformation to a common denominator. Moreover, the study aims at finding out what is critical in order to learn this.   We carried out a learning study, which is a kind of action research where the study is carried out in the classroom environment and where focus is on what the pupils is given the opportunity to learn. Moreover, a learning study is normally conducted in three cycles where the aim is to improve teaching during and between the different cycles. Our first cycle was conducted in grade four, the second cycle in grade six and the final and concluding one in grade nine. The lesson in grade four served as an introduction to fractions since the pupils were unfamiliar with the concept of fractions, yet the focus was on the function of the denominator, whereas the focus of the lessons in grade six and grade nine was on performing addition of fractions with different denominators. The process in each of the cycles in the learning study began with a pretest. The lesson was then planned according to the assumed critical aspects shown in the pretest before carried out. Each lesson was videotaped, and followed by a posttest about a week after the lesson. The material (pre-tests, lessons, and post-tests) from the three cycles were analyzed and thereafter also compared in order to find and compare critical aspects when it comes to the learning of fractions with different denominators.   The result indicates that the critical aspects for pupils in grade four were the meaning of the denominator and the numerator and their relationship. These aspects were targeted in the lesson and the pupils’ understanding of this was improved after the lesson. Moreover, the result implies that the most important critical aspect in grade six, as well as in grade nine, appears to be to understand the proportional relationship between the denominator and the numerator. This aspect was targeted at the respective lessons, yet the pupils only showed little or even no better understanding after the lessons, and in some cases their understanding even became impaired. It appears as if the pupils in grade six and grade nine have the same difficulties when dealing with fractions with unequal denominators, and moreover they were on the same level when dealing with the fractions.

<p>Syftet med den här studien är att undersöka undervisning och lärande av lärandeobjektet, bråk med olika nämnare, i årskurs 4, årskurs 6 och årskurs 9. Då specifikt jämförelsen av bråk med olika nämnare och addition med hjälp av gemensam nämnare. Studien avser att söka vad som är kritiskt för att kunna lära sig detta.</p><p> </p><p>Vi genomförde en learning study som är en typ av aktionsforskning där studien genomförs i klassrumsmiljö och fokus ligger på vad eleverna ges möjlighet att lära sig. Vanligtvis genomförs en learning study i tre cykler där undervisningen gradvis förbättras mellan cyklerna. Vår första cykel genomfördes i årskurs fyra, den andra cykeln i årskurs sex och den sista och avslutande cykeln i årskurs nio. Lektionen i årskurs fyra var en introduktion till bråk där fokus låg på nämnarens funktion. Lektionerna i årskurs sex och nio fokuserade till stor del på addition av bråk med olika nämnare. Processen i varje cykel började med ett förtest som sedan följdes upp med en planerad lektion utifrån utfallet, lektionen i sin tur videofilmades utifrån det iscensatta lärandeobjektet, och som sista del tog vi reda på det erfarna lärandeobjektet med hjälp av eftertest. Materialet (förtest, lektion och eftertest) från de tre lektionerna analyserades därefter och jämfördes för att få fram kritiska aspekter vid inlärning av bråk med olika nämnare.</p><p> </p><p>Resultatet indikerar att de kritiska aspekterna för elever i årskurs fyra är innebörden av täljare och nämnare samt relationen mellan dem. Denna kritiska aspekt lyckades vi komma åt under lektionen. I de senare cyklerna visar resultatet att den viktigaste kritiska aspekten är relationen mellan täljare och nämnare och insikten att de står i proportionalitet till varandra, dessa aspekter kom vi endast till viss del åt under lektionerna i årskurs sex och årskurs nio. I vissa fall försämrades deras förståelse efter lektionerna. Eleverna i årskurs sex och årskurs nio uppvisade samma svårigheter och vi kan inte påvisa någon förbättring mellan årskurserna; eleverna i årskurs sex och nio låg på samma nivå kunskapsmässigt då det gäller bråk med olika nämnare.</p> / <p>The aim of this study is to investigate the teaching and learning of fractions with different denominators as an object of learning in grade 4, 6 and 9. We concentrate more specifically on the comparison of fractions with different denominators as well as performing additions through transformation to a common denominator. Moreover, the study aims at finding out what is critical in order to learn this.</p><p> </p><p>We carried out a learning study, which is a kind of action research where the study is carried out in the classroom environment and where focus is on what the pupils is given the opportunity to learn. Moreover, a learning study is normally conducted in three cycles where the aim is to improve teaching during and between the different cycles. Our first cycle was conducted in grade four, the second cycle in grade six and the final and concluding one in grade nine. The lesson in grade four served as an introduction to fractions since the pupils were unfamiliar with the concept of fractions, yet the focus was on the function of the denominator, whereas the focus of the lessons in grade six and grade nine was on performing addition of fractions with different denominators. The process in each of the cycles in the learning study began with a pretest. The lesson was then planned according to the assumed critical aspects shown in the pretest before carried out. Each lesson was videotaped, and followed by a posttest about a week after the lesson. The material (pre-tests, lessons, and post-tests) from the three cycles were analyzed and thereafter also compared in order to find and compare critical aspects when it comes to the learning of fractions with different denominators.</p><p> </p><p>The result indicates that the critical aspects for pupils in grade four were the meaning of the denominator and the numerator and their relationship. These aspects were targeted in the lesson and the pupils’ understanding of this was improved after the lesson. Moreover, the result implies that the most important critical aspect in grade six, as well as in grade nine, appears to be to understand the proportional relationship between the denominator and the numerator. This aspect was targeted at the respective lessons, yet the pupils only showed little or even no better understanding after the lessons, and in some cases their understanding even became impaired. It appears as if the pupils in grade six and grade nine have the same difficulties when dealing with fractions with unequal denominators, and moreover they were on the same level when dealing with the fractions.</p>