Forskning har visat att rationella tal är ett problematiskt matematiskt område för elever att lära sig i samtliga årskurser. Progressionen inom området kan bli lidande och så även andra matematiska områden som baseras på förståelsen för rationella tal. Syftet med denna kvalitativa studie är att utforska hur lärare samtalar om bråkundervisning i årskurs 1–3 utifrån kända missuppfattningar om rationella tal. Fyra semistrukturerade fokusgruppsintervjuer genomfördes med verksamma lärare i årskurs 1–3. Det insamlade materialet analyserades utifrån variationsteorin, därefter kopplades resultatet samman med tidigare forskning och variationsteorin. En slutsats som dras ur lärarnas samtal om hur en gynnsam bråkundervisning kan utformas är att det går att urskilja variationsmönster utan att lärarna medvetet uttrycker detta. Ett antagande görs om att medvetenhet om variationsteorin skulle kunna bidra till att bråkundervisningen blir mer gynnsam och att elevers kunskapsprogression därmed kan gynnas.

God taluppfattning är grunden i all matematik och kunskap om tal är en vanligdel i definitionen om taluppfattning. Tallinjen kan användas som hjälpmedel föratt utveckla elevers taluppfattning. För att kunna utveckla undervisningen kringtallinjen behöver läraren veta vilka kritiska aspekter som hör ihop med detmatematiska området. Denna studie använder sig av variationsteori och studiensyftar till att identifiera och redovisa de kunskaper elever i årskurs 2 har i arbetetmed naturliga tals position på tallinjen. Studien använde sig av metodernaelevintervjuer och observation som därefter analyserades med hjälp av tematiskanalys. Studien har identifierat fyra kritiska aspekter med koppling till tallinjen.Dessa är; tallinjen innan det första givna talet, tallinjen kan ha olika avståndmellan markeringarna, två referenspunkter krävs för att sätta ut ett tredje tal ochdet finns ett samband mellan avstånd och värde på tallinjen. Resultaten diskuterasmed hjälp av tidigare forskning och variationsteorin därefter lyfts elevers behovav varierad undervisning. De tallinjer som elever möter i läromedel och pålärportaler har en ytterst liten variation, vilket gör att eleverna inte får urskilja dekritiska aspekterna om tallinjen. Slutsatsen i denna studie är att det blirproblematiskt när eleverna möter andra tallinjer eller andra sätt att arbeta medtallinjen de inte är vana vid. Författarna ger konkreta förslag på hur lärare kanvariera sin undervisning med hjälp av olika uppgifter för att täcka upp de kritiskaaspekter som definierats.

Gordana Krstic och Peter Liljekvist (2017). Inkluderande begreppsbaserad undervisning i samhällskunskap med learning study som metod. Including concept-based teaching in civics with learning study as a method. Specialpedagogprogrammet, Lärande och Samhälle, Skolutveckling och Ledarskap, Malmö Högskola.Förväntat kunskapsbidragUtvecklingsarbetet skall visa på hur inkluderande begreppsbaserad undervisning kan skapa nya förutsättningar för en ökad förståelse av hela innehållet i ämnet samhällskunskap.Syfte och frågeställningarSyftet med studien är att skapa bättre förutsättningar för alla elevers förståelse av ämnesområdet samhällsekonomi.Våra frågeställningar:1. Hjälper en inkluderande begreppsbaserad undervisning med variation som teori och learning study som metod eleverna till en ökad förståelse av innehållet i samhällsekonomi, även de som har läs- och skrivsvårigheter samt koncentrationssvårigheter.2. Hur skiljer sig elevernas uppfattning av de centrala begreppen i samhällsekonomi före och efter genomförandet av en learning study.TeoriVariationsteorin är en teori om lärande. Variation är en central aspekt av lärandet eftersom variation som eleverna får möjlighet att ta del av i en undervisningssituation är avgörande för deras lärande. Variationsteorins perspektiv på lärande ser ett utvecklande av förmågor och kompetenser samt att eleven lär sig se saker och ting på ett visst sätt.MetodLearning study användes som metod i studien. Inom learning study används variationsteorin som är en guidande princip för att förstå och skapa förutsättningar för lärande. Learning study är användbar som modell i vår studie, då detta examensarbete bygger på att synliggöra om en begreppsbaserad undervisning i samhällsekonomi ökar elevernas förståelse av lärandeobjektet.ResultatDet insamlade materialet analyserade vi tillsammans med ämneslärarna. Vi gjorde även en förtest gällande elevernas förkunskaper samt en test efter lektionernas avslutande för att komparera resultaten mellan de två testen. Elevernas sätt att använda de centrala begreppen i ämnesområdet samhällsekonomi visade på en ökad förståelse efter genomförandet av en learning study. De fick en djupare förståelse av centrala begrepp, vilket resulterade i ett ökat självförtroende som gav ett aktivt deltagande av alla eleverna i den efterföljande diskussionen, även de som har specifika inlärningssvårigheter. Diskussionen gav oss lärare/observatörer alternativ information om elevernas förmågor att förstå de centrala begreppen i ämnesområdet samhällsekonomi. Det blev tydligt för oss att eleverna kunde använda begreppen i diskussion på ett relevant sätt. Studien åskådliggör att kunskap om centrala begrepp är en betydelsefull beståndsdel i elevernas lärande.Diskussion/Specialpedagogiska implikationerI ett inkluderande klassrum är det viktigt att försöka vederlägga hur mycket eleverna lär sig under en viss tidsrymd. Den korta tid vi hade för att färdigställa undersökningen kan påverka hur elevernas kunskap kan anses vara bestående eller ej. Den eftertest som gjordes indikerade på att det finns goda förutsättningar för att elevernas kunskaper skall bestå och svara mot lärandemålen för årskurs 9. För att kontrollera elevernas kunskaper över tid kan en ny test göras om några månader.Den begreppsbaserade undervisningsformen som presenteras i detta utvecklingsarbetet kan ses som en guide för de lärare som vill arbeta inkluderande med begrepp i klassrummet. Vi ställde oss frågan om en inkluderande begreppsbaserad undervisning med variation som teori och learning study som metod, hjälper eleverna till en ökad förståelse av innehållet i samhällskunskap, även de som har läs- och skrivsvårigheter samt koncentrationssvårigheter. En ökad förståelse av centrala begrepp underlättar för alla eleverna att svara upp mot skolans kunskapsmål. Många lärare upplever att en läroboksstyrd undervisning är för eleverna alldeles för omfattande och ogripbar. Vi vill med utvecklingsarbetet skapa en inkluderande lärandemiljö där alla ges möjlighet till en fördjupad förståelse av centrala begrepp i ämnesområdet samhällsekonomi. Elever som inte förstår, exkluderar sig själva från undervisningen. Vår strävan med arbetet är att inkludera de elever som är i riskzonen att exkludera sig. Ämneslärarna kan vara i behov av specialpedagogiskt stöd för att anpassa undervisningen så att alla elever förstår och är delaktiga. Inkluderande begreppsbaserad undervisning kan vara en väg att fler elever uppnår lärandemålen.

Elevers kunskap om tal i bråkform är central i relation till andra matematiska områden samt den fortsatta matematiska kunskapsutvecklingen. Forskning visar dock att tal i bråkform kan vara en utmaning för elever. Syftet med denna studie är att utifrån variationsteorin identifiera kritiska aspekter för tal i bråkform samt undersöka hur variationsmönster kan möjliggöra ett lärande. Studiens syfte besvaras med frågeställningarna: Vilka kritiska aspekter kan identifieras för att förstå tal i bråkform? Vilka variationsmönster främjar elevernas möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna för lärandeobjektet? För att besvara frågeställningarna har studiens genomförande inspirerats av processen i en Learning study. Studien genomfördes i två klasser i årskurs 2 där data samlades in med hjälp av förtest, observationsprotokoll och eftertest. Utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv har variationsmönster planerats för två lektioner. Förtestet resulterade i att tre kritiska aspekter identifierades. Utifrån observation av lektioner och analys av för- och eftertest visade resultatet att variationsmönstret för lektion 2 kan ha möjliggjort ett lärande. Studien visade att variationsmönstren kontrast och generalisering kan ha bidragit till att eleverna urskilt kritiska aspekter för lärandeobjektet. / Students' knowledge of fractions is fundamental in other mathematical areas and for the development of mathematical knowledge. Research, however, shows that fractions can be challenging for students. The purpose of this study is to, through variation theory, identify critical aspects of fractions and study how patterns of variety can enable learning. The purpose of this study is to answer the research questions: What critical aspects can be identified in the understanding of fractions? What pattern of variation promotes students' possibility to discern the critical aspects of the object of learning? To answer these questions, the method of the study was inspired by learning study. The study was conducted in two classes in grade 2. Data was collected through a pre-test, observation protocol and a post-test. Based on variation theory, patterns of variation were planned for two lessons. Results of the pre-test identified three critical aspects. Based on the observations of lessons and analysis of pre- and post-test, the pattern of variation for lesson 2 may have enabled learning. Patterns of variation, contrast and generalization may have contributed to students discerning the critical aspects of the object of learning.

Tidigare forskning har identifierat svårigheter och missuppfattningar kopplade till bokstavssymboler inom algebra. Vi väljer att avgränsa oss till obekanta tal eftersom många elever kan möta svårigheter när bokstäver introduceras i matematikundervisningen. Syftet med denna studie är att bidra med kunskap om hur undervisning om bokstavssymboler i tidigare skolår kan planeras och genomföras utifrån variationsteorin. Syftet besvaras med hjälp av följande frågeställningar: Vilka kritiska aspekter behöver elever i årkurs 1 urskilja för att utveckla förståelse för obekanta tal? Hur förändras elevernas kunskaper om obekanta tal mellan för- och eftertest? Hur kan undervisning planeras och iscensättas utifrån identifierade kritiska aspekter? Studiens teoretiska ramverk är variationsteorin, där centrala begrepp omfattar lärandeobjekt, kritiska aspekter och variationsmönster. Variationsmönster används för att hjälpa eleverna att urskilja kritiska aspekter av ett lärandeobjekt, vilket i denna studie är obekanta tal, genom att synliggöra dessa med olika variationer. Studiens metod inspirerades av Learning Study. Lektionerna genomfördes med två olika undervisningsdesigner som grundades på variationsteoretiska principer. Studiens data består av för- och eftertester och observationsanteckningar från två lektionstillfällen. Resultatet visar att fyra kritiska aspekter har identifierats till det specifika lärandeobjektet, vilka är urskilja att: en ekvation är en likhet som innehåller obekanta tal, det obekanta talet står för ett tal (värde), tidigare kunskaper inom aritmetiken kan användas vid ekvationslösning, till exempel talfakta eller inversa operationer och samma bokstavssymbol kan stå för olika värden beroende på ekvation. Resultatet visar även att elevernas kunskaper utvecklas mellan för- och eftertest, när undervisningarna planeras och iscensätts utifrån variationsteoretiska principer. Slutsatser som kan dras är att variationsteorin kan vara användbar för lärare när de ska identifiera kritiska aspekter och planera lektioner. Efter att ha genomfört två lektioner med årkurs 1 har vi kommit fram till att det är möjligt och fördelaktigt att introducera obekanta tal redan i tidig ålder. / Previous research has identified difficulties and misconceptions associated with letter symbols in algebra. A common difficulty can be interpreting and using unknown numbers. A misconception identified in a few studies is that letter symbols can be perceived to represent positions in the alphabet. We choose to focus on unknown numbers because many students may encounter difficulties when letter symbols are introduced in mathematics. The aim of this study is to investigate the teaching of letter symbols in grade 1. The aim is addressed through the following research questions: What critical aspects do students in grade 1 need to dicern in order to develop an understanding of unknown numbers? How do students' knowledge of unknown numbers change between pre- and post tests? How can teaching be planned and staged based on identified critical aspects?  The theoretical framework of the study is the variation theory of learning, where central concepts include learning object, critical aspects and patterns of variations. Patterns of variation are ursed to help students discern critical aspects of a learning object, which in this study are unknown numbers, by highlighting these through different variations. This method of study was inspired by Learning Study. Lessons was carried out with two different teaching designs, based on principles of variation theory. The study´s data include pre- and posttest and observation protocols from two conducted teaching sessions.  The results indicate that four critical aspects have been identified for the specific learning object, which are discerning that: an equation is an equality containing unknown quantities, the unknown quantity represents a number (value), prior knowledge in arithmetics can be used in equation solving, such as number facts or inverse operations, and the same letter symbol can represent different values depending on the equation. The results also show that students' knowledge evolve between pre- and post tests when teaching is planned and staged based on variation theoretical principles. It is shown that variation theory can be useful for teachers in identifying critical aspects and planning lessons. After conducting two lessons with grade 1, we have concluded that it is possible and beneficial to introduce unknown quantities at an early age.

Denna studie är en läromedelsanalys som inriktar sig på två läromedel anpassade för årskurs fem och dess problemlösningsuppgifter. Läromedlen som undersöks i studien är Prima Formula matematik 5 och Mera Favorit matematik 5B. Syftet med studien är att undersöka vilka kategorier av öppna, slutna och rika problemlösningsuppgifter som läromedlen innehåller. Vidare ämnar studien urskilja vilka möjliga kritiska aspekter, kritiska drag och variationsmönster som dessa uppgifter innehåller. För att undersöka detta har studiens teoretiska ramverk varit variationsteorin. Anledningen till att detta undersökts är på grund av att det är väsentligt att en lärare att kunna urskilja kritiska drag och aspekter från ett lärandeobjekt. Detta för att kunna forma undervisningen på ett effektivt sätt som främjar elevernas lärande. Studiens resultat visar att majoriteten av läromedlens problemlösningsfrågor består av slutna problem, i jämförelse med öppna och rika problem. Resultatet visar även att större delen av de kritiska aspekter och dragen som kan urskiljas är kopplade till division, bråk, begrepp och ordförståelse för ord som exempelvis “största” eller “växel”. Samtliga variationsmönster, alltså kontrast, separation, generalisering och fusion kan urskiljas i uppgifterna, men inte tillsammans i en och samma uppgift.

Bråk beskrivs som ett av de mest komplexa ämnesområden inom matematik. Däremot har en del läromedel tonat ner bråkens betydelse samtidigt som forskning visar att läroböcker utgör en central del av lärares matematikundervisning. Syftet med denna studie är att ge en bild av vad tre läromedel läroböcker erbjuder elever att lära om bråk. Undersökningen har inspirerats av variationsteorin och utgår från fyra kritiska aspekter som utifrån tidigare forskning visat sig vara viktiga för elevers förståelse för bråk. Totalt har sex läroböcker analyserats med hjälp av en innehållsanalys, i syfte att identifiera vilka variationsmönster som används för att synliggöra fyra kritiska aspekter. Dessutom undersöktes vilka lärandeobjekt som förekommer i respektive lärobok. Av resultatet framgår en variation i vilken utsträckning de kritiska aspekterna behandlas och vilka variationsmönster som används för att öka elevers förståelse för de kritiska aspekterna. Framförallt ges elever möjlighet att lära om täljaren och nämnarens funktion genom generalisering som mönster av variation. I läromedlen kunde sammanlagt 19 unika lärandeobjekt identifieras. Däribland återfinns lärandeobjekt om såväl bråk som del av en helhet som bråk som del av antal. Även om inget av de analyserade läromedlen behandlar samtliga lärandeobjekt är det möjligt att utläsa en tydlig skillnad vad gäller såväl omfång som innehåll. Oavsett står det klart att en kombination av flera läromedel kan berika elevers möjligheter att lära bråk. För att en sådan variation ska vara möjlig krävs en stärkt skollag som säkerställer elevers rätt till läromedel. / Research shows that there are a number of reasons students struggle with fractions. On the other hand, some mathematics textbooks still reduce the importance of fraction, while research found mathematics textbooks as a central part of teachers’ math teaching. However, the aim of this study is to depict what three educational materials offer pupils to learn about fractions. The study has been inspired by the theory of variation and is based on four critical aspects that, based on previous research, have been found as critical for students’ understanding of fractions. A total of six mathematics textbooks have been analysed using a content analysis, in order to identify which patterns of variation are used to make the selected critical aspects visible. Furthermore, this study examined which learning objects that appear in each textbook. The results show a variation in the extent each critical aspect is treated and which variation patterns that are used to improve pupils understanding of selected critical aspects. A total of 19 unique learning objects could be identified in the mathematics textbooks. Due to the fact that none of the analysed teaching materials deals with all learning objects, it is possible to distinguish a variation of both volume and content. However, result from this study claims that mathematics textbooks combined would offer greater opportunities to learn obviously. If teachers should be able to overcome a various teaching material it is necessary to strengthen students’ rights to teaching material.

Studien avser att undersöka vilka kritiska aspekter, nycklar för lärande, som undervisningen behöver synliggöra för att utveckla elevers förmåga att stegvis kommunicera sina skriftliga lösningar på textuppgifter i matematik. Syftet med studien är att få eleverna att urskilja de kritiska aspekterna och därmed utveckla förmågan att kommunicera sina lösningar på textuppgifter på ett välutvecklat och strukturerat sätt. I studien har variationsteorin använts som ramverk för utformning, tolkning och analys. Forskningsmetoden som använts i studien är learning study. I en cyklisk process har vi undersökt vilka kritiska aspekter som behöver synliggöras för studiens eleverna för att de ska förstå det lärandeobjekt som valts i studien, “att skriva lösningar på textuppgifter med flera steg genom att kommunicera sin lösning med hjälp av matematikens språk”. Cykeln bestod av ett förtest med två elevgrupper, planering av forskningslektion, genomförande av lektion med ena gruppen med efterföljande eftertest, revidering av lektion och slutligen genomförande av lektion med efterföljande eftertest med den andra gruppen. Genom analys av förtest, den första forskningslektionen samt eftertest har de kritiska aspekterna utvecklats och forskningslektionen med den andra gruppen reviderats, för att på ett bättre sätt synliggöra lärandeobjektets kritiska aspekter för eleverna. Studiens resultat visar att de kritiska aspekter som synliggjordes var; att eleven förstår uppgiftens innebörd, att eleven redovisar alla tankesteg i sin lösning, att eleven skriver sin redovisning i rätt ordningsföljd, att eleven byter rad vid en ny uträkning och att eleven kontrollerar att hen svarat på uppgiftens fråga. Dessa synliggjordes med hjälp av jämförelser av olika elevlösningar samt med en stegvis instruktion som arbetades fram efter studiens första cykel. I den avslutande diskussionen sammanfattas forskningslektionernas positiva aktiviteter som verkade leda till urskiljning av de kritiska aspekterna.

Syftet med den här studien var att undersöka hur de negativa talen synliggörs i två läromedel, för årskurs 5, genom att identifiera vilka kritiska aspekter som framstår i dessa läromedel samt hur de kritiska aspekterna varieras. De läromedel som har analyserats är Prima Formula 5 och Matte Direkt Borgen 5B. Analysen är kvalitativ och genomförs med hjälp av två ramverk där variationsteori står som teoretisk utgångspunkt. Analysen genomförs i två delar. En första del där läromedlen undersöks för att se vilka kritiska aspekter som synliggörs. Därefter en andra del där de identifierade kritiska aspekterna undersöks för att se vilka variationsmönster som framstår då de kritiska aspekterna varieras i läromedlet. Av resultatet framkommer att de aspekter som framstår som kritiska i Prima Formula 5 är tallinjen, tal mindre än 0, de negativa talens storleksordning och minustecknets olika funktioner. I Matte Direkt Borgen 5B framstod de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Däremot tolkades inte minustecknets olika funktioner som en kritisk aspekt i det läromedlet. De variationsmönster som hittades vid analys var främst kontrast och generalisering. Fusion framstod i Prima Formula 5 men endast för de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Minustecknets olika funktioner varierades inte med fusion. I Matte Direkt Borgen 5B används inte fusion för någon av de kritiska aspekterna. De kritiska aspekter som framstår i läromedlen beskrivs i diskussionen som rimliga utifrån tidigare forskning. Avslutningsvis diskuteras att lärare kan behöva komplettera för variationsmönster som saknas, samt betydelsen av val av läromedel.

Syftet med denna studie är att bidra med kunskap om hur matematikundervisning kan utformas genom att använda variationsteorin för att undersöka matematikundervisning om positionssystemet i årskurs 2. Metoden i studien delar likheter med design research genom att undervisning har planerats, genomförts och prövats i en autentisk klassrumsmiljö. Undervisning iscensattes genom två olika undervisningsdesigner: en undervisingsdesign baserad på variationsteoretiska principer och en undervisingsdesign baserad på lärarhandledning. Datainsamlingen i studien består av för- och eftertester samt transkript av genomförd undervisning. Datan analyserades med stöd av variationsteorin. Studien indikerar att variationsteorin kan fungera som ett konkret verktyg när matematikundervisning och elevernas möjliga lärande planeras, utformas och analyseras. Studien visar även att båda designerna tycks ha givit eleverna möjlighet att lära sig det som var planerat. / The aim of this study is to contribute to an understanding for how mathematical instructions can be designed. By investigating how the Variation theory of learning can be applied in mathematical education regarding the positional system in grade 2. The methodology of the study shares similarities with design research, as mathematical instructions were planned, implemented, and tested in an authentic classroom environment. Two different instructional designs were staged: one based on variation-theoretical principles and one based on the teacher’s instructional guidebook. The collected data in the study consists of pre- and posttests as well as transcriptions of the enacted lessons. The data was analyzed with the support of the Variation theory. The study demonstrates that the variation theory can serve as a guiding for teachers when planning, designing, and analyzing mathematics instruction and students’ potential learning development. Furthermore, the study also indicates that both designs seem to have given the students an opportunity to learn what was planned.