Detta självständiga arbete i fördjupningsämnet matematik utgör dels en kunskapsöversikt och dels en empirisk forskningsstudie med utgång i forskningsområdet matematisk begreppsförståelse och matematisk problemlösning och vänder sig i första hand till yrkesverksamma lärare och lärarstuderande. Den producerade kunskapsöversikten är huvudsakligen baserad på forskning som belyser och problematiserar elevers begreppsliga inlärning i samband med matematisk problemlösning. Den centrala frågeställningen som den empiriska forskningsstudien ämnar utreda är Vilken påverkan har begreppsträning på elevers matematiska problemlösningsförmåga? Forskningsstudiens deltagare utgör sju matematikstuderande gymnasieelever och det empiriska materialet (empirin) som dessa deltagare har producerat utgör begreppskartor och lösningsförslag med tillhörande reflektionstext. Två olika analysverktyg som är förankrade i tidigare forskning om begreppsliga representationer och aspekter av två konstruktivistiska vetenskapsteorier tillämpas vid kvalitativ och kvantitativ innehållsanalys av forskningsstudiens empiriska material. Den empiriska forskningsstudiens resultatanalys utgör huvudsakligen en kvantitativ poängbedömning av deltagarnas konstruerade begreppskartor och en kvalitativ bedömning av deltagarnas producerade lösningsförslag med tillhörande reflektionstext. Av den bedrivna forskningsstudiens resultatanalys framgår det att en god förmåga att tillämpa matematikbegrepp vid matematisk problemlösning förutsätter en god förmåga att under begreppsträning beskriva förhållandet mellan motsvarande matematikbegrepp. Vidare tyder studiens resultatanalys på att förmågan att under begreppsträning översätta mellan olika uttrycksformer för att representera matematikbegrepp innebär en god kommunikationsförmåga vid matematisk problemlösning. Avslutningsvis utmynnar diskussionsavsnittet i förslag på hur den empiriska forskningsstudiens resultatanalys via framtida forsknings- och utvecklingsarbeten kan bidra till att nya och effektiva bedömningsverktyg implementeras i matematikundervisningen. / This independent project in the major subject mathematics constitutes partly a knowledge review and partly an empirical research study based on the research area of mathematical conceptual understanding and mathematical problem solving and is primarily aimed at teachers and teacher students. The knowledge review produced is mainly based on research that elucidate and problematizes students’ conceptual learning in conjunction with mathematical problem solving. The main question that the empirical research study aims to investigate is What influence does conceptual training in have on students’ mathematical problem solving ability? The participants in the research study constitute seven mathematics students in upper secondary school and the empirical material (empirical evidence) that these participants have produced constitutes concept maps and solution proposals with associated reflection text. Two different analysis tools that are rooted in previous research on conceptual representations and aspects of two constructivist science theories are applied to qualitative and quantitative content analysis of the empirical material of the research study. The empirical research study’s result analysis constitutes mainly a quantitative score assessment of the participants’ constructed concept maps and a qualitative assessment of the participants’ produced solution proposals with associated reflection text. The result analysis of the conducted research study shows that a good ability to apply mathematical concepts in mathematical problem solving requires a good ability to describe the relationship between the corresponding mathematical concepts during concept training. Furthermore, the result analysis of the study indicates that the ability to translate between different forms of expressions to represent mathematical concepts during concept training means a good communication ability in mathematical problem solving. Lastly, the discussion section culminates in suggestions on how the empirical research study’s result analysis through future research and development projects can contribute to the implementation of new and effective assessment tools in mathematical education.

Detta arbete handlar om hur elever kan få språklig stöttning i matematik, mer specifikt vid problemlösning inom bråk i matematik. Syftet är att ta fram språklig stöttning vid problemlösning inom bråk i matematik.  Första delen av detta arbete har bestått i att ta fram en arbetsgång med stöttande frågor för att hjälpa elever att läsa, förstå och lösa ett matematiskt textproblem, hämtat från boken Rika problem. Arbetsgången har arbetats fram enligt Gibbons cirkelmodellen och utifrån en språklig analys av det matematiska innehållet i textproblemet utifrån lexikon- och registerperspektiv.  Den arbetsgången användes sedan på fem grupper i två klasser där eleverna diskuterade och gemensamt löste två problem, det ena med de stöttande frågorna i arbetsgången och det andra utan. Ordningen på problemen varierades för att se om det spelade någon roll om de fick stöttning i första eller andra problemet. Det vi kunde se av undersökningen var att när eleverna fick stöttning skapade de en gemensam bas och grund att börja lösa problemet ifrån och de diskuterade mer hur de skulle gå till väga. Vi har också kunnat se att elever som fick stöttning i första problemet tog med sig frågorna i det andra problemet och även försökte identifiera begrepp och strategier när de gick vidare till problemet utan vår stöttning.

En utgångspunkt för denna studie har varit att flera svenska elever har svårigheter att lösa matematiska textuppgifter. I ett försök att utveckla elevers förmågor att lösa matematiska textuppgifter har Singaporemetoden blivit allt mer populär. I Singaporemetoden används blockmodellen för att visualisera textuppgifter. Syftet med följande uppsats är att, utifrån ett sociokulturellt perspektiv, synliggöra hur fem lärare uppfattar att blockmodellen kan stötta elever i att utveckla problemlösningsförmågan när de löser textuppgifter. Uppsatsen syftar även till att synliggöra vilka erfarenheter lärarna har av att arbeta med blockmodellen i matematikundervisningen för årskurserna 1–6. Studien utgår från en kvalitativ metod där syftet besvaras genom fem enskilda semistrukturerade intervjuer med grundlärare som undervisar utifrån blockmodellen i matematikämnet. Studien har utgångspunkt i Vygotskijs sociokulturella teori och har inspirerats av en tematisk metodanalys. Resultatet visar att lärare uppfattar att det finns såväl fördelar som nackdelar med att använda blockmodellen i matematikundervisningen. Lärarna uppfattar att blockmodellen främst är stöttande genom att modellen strukturerar textuppgifter och stödjer elever och lärare att ta sig an textuppgifter. Med stöd av blockmodellen visualiseras dessutom matematiska områden och elever ges möjlighet att utveckla matematisk förståelse. Modellen kan även hjälpa lärare att skapa samtalssituationer för att låta elever utvecklas i den proximala utvecklingszonen. I samtalen får elever möjlighet att utveckla problemlösnings-, begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmåga. Resultatet visar även att främsta utmaningen är att modellen innehåller många steg som kräver att rita och skriva vilket inte passar för alla elever. Blockmodellen ger dessutom upphov till utmaningar när det gäller att differentiera undervisningen, eftersom arbetet oftast sker gemensamt med uppgifter på en specifik svårighetsgrad. Slutsatsen är att blockmodellen kan stötta elever i att utveckla problemlösningsförmågan i textuppgifter i kombination med lärarens kompetens. / The premise for this study has been that swedish upper primary- and lower secondary pupils have been shown to have difficulties in solving textual tasks in mathematics. In an attempt to develop pupils’ abilities in solving these textual tasks, the Singapore model has become increasingly popular. The Singapore model utilizes what is known as the bar model, which is used to visualize the text within these tasks. The purpose of this study is to highlight how five teachers perceive that the bar model can support pupils in developing problem-solving skills in textual tasks, from a socio-cultural perspective. The study also aims to highlight the experiences the teachers have gained from working with the bar model in mathematics teaching for grades 1-6. The study's purpose has been answered through five individual, qualitative and semi-structured interviews, with primary teachers who teach mathematics with the support of the the bar model. The study uses Vygotskij’s sociocultural theory and has been further inspired by a thematic method analysis to present and understand the results. The results show that teachers perceive both advantages and disadvantages in using the bar model in mathematics teaching. The teachers expressed that the bar model is primarily supportive in that the model structures textual tasks and supports pupils and teachers when approaching textual tasks. With the support of the bar model, abstract areas are also visualized and the pupils gain an increased mathematical understanding. The model can also contribute to creating conversational situations in order for pupils to develop in regards to the proximal development zone. In these conversations, pupils are given the opportunity to develop problem-solving, conceptual, reasoning and communicational skills. The results also show that the main challenge is that the model contains many elements that require drawing and writing, which are not suitable for all pupils. The bar model also gives rise to challenges in regard to differentiating the teaching, since the work usually takes place jointly with tasks at a specific degree of difficulty. The conclusion is that the bar model can support pupils in developing problem-solving skills in textual tasks in combination with teacher competence.

Denna empiriska studie utgår från problemlösningsuppgifter och syftar till att beskriva hur ungaelever använder laborativt material i en problemlösningsuppgift, samt hur eleverna utvecklar modelleri sina lösningar. Empirin till studien har samlats in genom intervjuer och observationer.Datainsamlingen genomfördes i fem omgångar med två elever under varje tillfälle. Eleverna fickgemensamt lösa problemlösningsuppgifter med multibasmaterial. Metoden för att analysera datan varinnehållsanalys, utifrån en kvalitativ ansats med utgångspunkt i teorin Realistic MathematicsEducation. Resultatet visar att eleverna genom att använda sig av multibasmaterial kan visa sinförståelse och använda det som stöd vid samtal. Det framkommer även i resultatet att majoriteten aveleverna besitter kunskaper om hur de använder multibasmaterialet som en modell av verkligheten.Enstaka elever upplevdes vara på god väg att automatisera modell av till en modell för, för abstraktmatematik. Slutsatsen som kan dras utifrån genomförd studie är att multibasmaterialet underlättar föreleverna i deras samtal och utbyte av tankar i deras lösningsprocess, samt möjliggör för eleverna attskapa modeller av problemlösningsuppgiftens innehåll.

Matematisk problemlösning är för elever ett utmanande område som är beroende av att lärare har en genomtänkt plan för hur undervisningen ska struktureras. De olika syner som visat sig finnas på problemlösning har vidare inspirerat till den här studiens syfte, vilket är att synliggöra olika uppfattningar av vad problemlösning i förskoleklass och årskurs 1–3 innebär. För att svara mot syftet för studien har en fenomenografisk ansats använts och frågeställningarna ”På vilka kvalitativt skilda sätt uppfattar lärare problemlösning i de lägre årskurserna?” och ”På vilka kvalitativt skilda sätt uppfattar lärare syftet med att undervisa i problemlösning i de lägre årskurserna?” har formulerats. Genom semistrukturerade intervjuer med fyra lärare har data samlats in och analyserats. Resultatet visar på fem olika uppfattningar av problemlösning vilka handlar om att se problemlösning som en textuppgift, en utmanande process, en procedur, ett gemensamt arbete eller ett kreativt tänkande. Därefter presenteras fyra uppfattningar av vad syftet med undervisning i problemlösning är. Syftet uppfattas handla om att följa läroplan och förbereda inför nationella prov, att ge eleverna förberedande verktyg, att skapa en förståelse för problemlösning och att testa elevernas kunskaper. Avslutningsvis diskuteras studiens metodval följt av en diskussion kring resultatet i relation till tidigare forskning och yrkesverksamheten. / Mathematical problem solving is a challenging area for younger students that relies on teachers having a well-thought-out plan for how the teaching should be structured. The different views that have been identified regarding problem solving have further inspired the purpose of this study. The purpose is to highlight different ways of experiencing what problem solving in preschool and grades 1–3 entails. With regards to the purpose of the study, a phenomenographic approach has been used, and the research questions "In what qualitatively different ways do teachers experience problem solving in the lower grades?" and "In what qualitatively different ways do teachers experience the purpose of teaching problem solving in the lower grades?" has been formulated. Data has been collected and analyzed through semi-structured interviews with four teachers. The results reveal five different understandings of problem solving, which involve seeing problem solving as a word problem, a challenging process, a procedure, a collaborative work, or a creative thinking. Furthermore, four different ways of experiencing the purpose of teaching problem solving are presented. The purpose is experienced to be about following the curriculum and preparing for national tests, providing preparatory tools for students, fostering an understanding of problem solving, and testing students' knowledge. Finally, the study's choice of method is discussed, followed by a discussion of the results in relation to previous research and professional practice.

Det är många som anser att kemiämnet i allmänhet och kemiska beräkningar i synnerhet hör till de svåraste sakerna som lärs ut på gymnasiet. I en tidigare litteraturstudie visades att bland annat begreppen överföring och matematisk förmåga är kopplade till elevers svårigheter med beräkningar i kemi, samt att studier i svensk kontext saknas. Den här studien undersöker därför dessa begrepp genom att en grupp svenska gymnasieelever får svara på beräkningsuppgifter och en enkät som tagits fram och anpassats med utgångspunkt i en skotsk studie. Det första av två syften är att ta reda på om det anpassade materialet kan användas för vidare forskning, alltså om det faktiskt mäter om det är överföringen till en kemikontext eller brister i elevernas matematikkunskaper som i första hand bidrar till deras svårigheter med beräkningar i kemi. Studiens andra syfte är att undersöka vilka observationer som kan göras om den deltagande gruppen elever samt om dessa kan kopplas till litteraturen, för att på så sätt kunna säga något om eventuella konsekvenser för lärare och undervisning. Utifrån jämförelser mellan resultaten i den här studien och den skotska dras slutsatsen att beräkningsuppgifterna och enkäten kan användas för vidare forskning i svensk kontext. Främst tre saker observerades ge eleverna i den här studien svårigheter: konceptet koncentration, okritisk formelbundenhet och hög komplexitetsgrad. Många fel genererade av dessa svårigheter skulle kunna undvikas om eleverna använde sig av enhetsanalys och/eller rimlighetsbedömningar. Enkätsvaren visar att nästan alla elever tycker att beräkningsuppgifter i kemi är svårare än motsvarande matematikuppgifter. Elevernas egna tankar kring vad detta beror på visar främst på två möjliga orsaker. Dels att kemiuppgifter i allmänhet har, och upplevs ha, högre komplexitetsnivå än matematikuppgifter, dels att elever i det svenska skolsystemet får mycket mer tid för träning på beräkningar i matematikkontext jämfört med i kemikontext. Ett sätt att råda bot på denna snedfördelning kan vara bättre koppling mellan matematiken och kemin. Detta förutsätter först och främst att eleverna får en god förståelse för själva matematiken. Utöver det krävs en god kommunikation mellan matematik- och kemilärare så att denna koppling kan göras i samråd och på såväl matematik- som kemilektioner.

Syftet med denna studie är att bättre förstå vilka attityder och strategier som framkommernär elever löser matematiska problem samt att pröva om det går att påvisa några sambandmellan elevernas attityd till matematisk problemlösning och deras problemlösningsförmåga.Undersökningen gjordes med hjälp av en kvalitativ studie av fyra elever i slutet av årskurs 8.Datainsamlingen bestod av två delar, en observationsdel och en intervjudel. Empirinanalyserades med hjälp av tematisk analys och ett teoretiskt ramverk. Ramverket består avtre attitydkomponenter som har totalt sju underkategorier som följs av kategoriernaproblemlösningsstrategi och metoder och procedurer. Attitydkomponenterna är: Kognitivauppfattningar, Affektiva tillstånd och Upplevd kontroll. Underkategorierna benämns:Upplevd relevans, Upplevd svårighet, Uppfattningar om genus, Lust och glädje, Oro,missnöje och olust, Upplevd självförmåga och Upplevt kontextberoende. Analysresultatetbestår av fyra attitydprofiler, en för varje deltagare. Studien har bidragit till att attityder och strategier vid matematisk problemlösning bättrekan förstås. Resultatet indikerar att en positivare attityd även kan innebära en merutvecklad problemlösningsförmåga. Ytterligare utkomst av studien är indikationer på attinterventioner som stimulerar elevens tänkande om sitt eget tänkande (metakognition)gagnar elevens problemlösningsförmåga. Implikationer och fortsatta studier diskuteras. / The purpose of this study is to better understand the attitudes and strategies that emergewhen students solve mathematical problems and to test whether it is possible todemonstrate any connection between students' attitudes to mathematical problem solvingand their problem solving ability.The survey was conducted with the help of a qualitative study of four students at the end ofyear 8. The data collection consisted of two parts, one observation part and one interviewpart. The empiri was analyzed by thematic analysis and a theoretical framework. Theframework consists of three attitude components which in total have seven subcategories,these are followed by the problem-solving strategy and the method and procedurecategories. The attitude components are: Cognitive beliefs, Affective states and Perceivedcontrol. The subcategories are: Perceived relevance, Perceived difficulty, Gender beliefs,Pleasure and delight, Worry, dissatisfaction and unease, Self-efficacy and Contextdependency. The analysis result consists of four attitude profiles, one of each participant. The study contributes with a better understanding of attitudes and strategies inmathematical problem solving. The result indicates that a more positive attitude can mean amore developed problem-solving ability. Further outcome of the study is that students’metacognition (thinking about your own thinking) benefit their problem solving ability.Implications and further research are discussed.

Studien undersöker hur lärare för årskurs F-3 undervisar och ger återkoppling inom matematikundervisningen. För att undersöka detta användes semistrukturerade intervjuer med 8 lärare. Lärarna fick i början av intervjun ge återkoppling på två elevlösningar på ett matematiskt problem, en korrekt och en inkorrekt. När lärarna givit återkoppling på de båda elevlösningarna ställdes frågor för att komplettera materialet. Resultatet visar att några av lärarna väljer att tilldela strategier, medan majoriteten väljer att inte tilldela strategier eftersom de anser att syftet med problemlösning försvinner. Vidare visar resultatet att lärarna riktade sin återkoppling mot den felaktiga lösningen och gav därför förslag på framåtsyftande återkoppling. Återkopplingen till den korrekta elevlösningen handlade istället om att eleven löst uppgiften. Slutligen pratade majoriteten av lärarna om undervisning för problemlösning, vilket innebär att de lär ut procedurer och begrepp innan eleverna blir tilldelade problemlösningsuppgifter. / The study examines how teachers in years F-3 instruct and give feedback when teaching mathematics. To examine this, semi structured interviews was conducted with 8 teachers. In the beginning of the interview the teachers were asked to give feedback on two student-solutions to a mathematical problem, one correct and one incorrect. When the teachers had given their feedback on both of the student solutions, they were asked questions to complement the material. The result shows that some of the techers choose to assign strategies, while the majority chose not to since they believe the purpose of problem-solving would disappear. The result further shows that the teachers aimed their feedback towards the incorrect solution and suggested ways to improve in the future. The feedback aimed at the correct solution instead focused on the fact that it was correct. Finally, the majority of the teachers spoke about education for problem-solving, which means they teach procedures and concepts before giving the students problem-solving assignments. / <p>Matematikdidaktik</p>

Syftet med studien är att undersöka om problemlösningsuppgifter i läroböcker ger möjlighet till utveckling av problemlösningsförmågan. I studien har innehållsanalys valts som metod och med hjälp av Schoenfeld’s ramverk och Skolverkets kommentarmaterial har ett resultat skrivits fram. I resultatet framgår det att förekomsten av problemlösningsuppgifter i läromedlet Favorit matematik för årskurs 3 är låg. Vidare visar resultatet att majoriteten av problemlösningsuppgifterna ger elever möjlighet att utveckla fyra av de fem delförmågorna i problemlösningsförmågan samtidigt. Studiens slutsats är att läroböcker i matematik bör analyseras för att ge elever möjlighet att arbeta med problemlösningsuppgifter och säkerställa deras utveckling av problemlösningsförmågans olika delar. / The purpose of the study is to investigate whether problem-solving tasks in textbooks provide an opportunity for the development of problem-solving ability. In the study, content analysis has been chosen as the method and with the help of Schoenfeld's framework and the Swedish National Agency for Education's commentary material a result has been produced. In the result appears that the occurrence of problem-solving tasks in the learning material Favorit matematik for grade 3 is low. Furthermore, the results show that most of the problem-solving tasks give pupils the opportunity to develop four of the five sub-skills in the problem-solving ability at the same time. The study's conclusion is that textbooks in mathematics should be analyzed to give pupils the opportunity to work with problem-solving tasks and ensure their development of the different parts of problem-solving ability.

Detta examensarbete inom området didaktisk matematik grundar sig på en empirisk undersökning.Undersökningar av talmönster bildar ramen för detta arbete. Åtta elever som läser årskurs 1 på ettgymnasiums El- och energiprogram gruppindelas och får uppgifter i problemlösning att lösa istigande svårighetsgrad. Elevernas arbete videofilmas och transkriberas, dessutom samlas allaelevernas anteckningar in. Jag har kopplat mitt resonemang till tidigare forskning som tar uppliknande frågor och då huvudsakligen generaliseringar av talföljder. I enlighet med Skolverketsriktlinjer ska eleverna ges möjlighet till problemlösning genom nya utmaningar samt ges nyaerfarenheter av matematikens logik och generaliserbarhet. Uppgifterna i denna uppsats är delsnumeriska och dels symboliska. Projektet har i första hand syftat till att visa på att visuella modellerkan assistera elever vid tillägnande av ny kunskap. I andra hand har projektet syftat till att visa atten viss process eller algoritm som definieras Abduktion kan vara till hjälp vid lösning av uppgiftervilka har som mål att leda till generaliseringar och formler. Med resultatet av detta arbete går det attdra slutsatserna att:1. eleverna under vissa förutsättningar har stöd av visuella figurer vid framtagande avgeneraliserade formler.2. begreppet Abduktion kan vara till hjälp vid framtagande av dessa formler.Nyckelord: